Диофантово уравнение А.А. Маркова

Решить уравнение в целых числах: x²+y²+z²=3xyz.

Периодическая последовательность

Последовательность () является периодической (проверьте). При каких числах k и l последовательность получается периодической? Какой длины может быть период?

Темы по алгебре см. также в [Ст 9].

ГЕОМЕТРИЯ

Геометрия, в противоположность алгебре, наименее алгоритмизированный раздел школьной математики, и исследовательских задач тут очень много. Стоит сделать два шага в сторону от школьной программы – и возникает новая тема (нередко она оказывается новой не только для школьника, но и для профессионала-математика). Но тут есть другое ограничение: чтобы решать содержательные задачи по геометрии, школьник должен быть хорошо выучен основам (7-8 класс), сам этого не придумаешь. Поэтому здесь большинство задач хороши не для знакомства с темой, а для повторения и углубления.

Оси куба

Возьмём кубик, проткнём его спицей через центры противоположных граней и начнём поворачивать. За один оборот кубик будет 4 раза совпадать со своим первоначальным положением. Поэтому такую ось называют осью вращения 4-го порядка. Какие ещё оси есть у куба, и каких порядков? Что изменится, если срезать у куба один уголок? Два противоположных уголка? Два уголка с одной грани? С одного ребра? Те же вопросы, если срезать три уголка.