Простейшие математические бильярды

Математическая идеализация обычного бильярда привела к понятию математического бильярда, введенному американским математиком Дж. Биркгофом в начале 20-го века. Оказалось, что некоторые задачи физики сводятся к изучению математических бильярдов. Вначале рассматривается простейший бильярд в круге, и показывается как его исследование сводится к исследованию жестких поворотов окружности. Затем рассматривается бильярд в прямоугольнике, и показывается, что изучение этого бильярда сводится к изучению геодезических линий на поверхности, которая является границей бублика (двумерный тор).

61. Инверсия и прямило Липкина

Со времён изобретения Джеймсом Уаттом паровой машины стояла задача построения шарнирного механизма, переводящего движение одного шарнира по окружности в движение другого шарнира по прямой, т.е. спрямляющего механизма, или прямила. Долгое время учёные и инженеры не могли решить эту задачу, строили приближённые прямила, где ведомый шарнир ходил не строго по прямой, но рядом, не очень далеко удаляясь от неё. А окончательно решить задачу создания прямила помогла красивая математика.

62. "Как увидеть хаос?"

План:
0) Введение.
1) Точечные отображения [0; 1] -> [0; 1]
2) Неподвижные точки в точечных отображениях.
3) Устойчивость неподвижных точек
4) Отображение пекаря x_n+1 = { 2 * x_n }. Хаос в нем.
5) Логистическое отображение x_n+1 = r * x_n * (1 - x_n). Неподвижные точки в нем
6) Колебательный и хаотический режим в логистическом отображении.

Тема для самостоятельного исследования: для логистического отображения найти области параметров, в которых проявляются различные режимы.

63. Сравнение бесконечных множеств. Континуум гипотеза

Выясняется, как сравнивать бесконечные множества. Вводится понятие мощности множества, доказывается несчетность множества действительных чисел. Обсуждается вопрос о существовании самого мощного множества. Рассказывается о континуум гипотезе и ее решении Коэном.

Первоначальные понятия топологии

Определение топологических пространств. Метрическая топология. Непрерывные отображения топологических пространств. Топологическая эквивалентность. Понятие топологической классификации. Примеры.

Классификация замкнутых поверхностей

Двумерные топологические многообразия. Триангуляция. Эйлерова характеристика поверхности. Ориентируемость и классификация замкнутых двумерных многообразий. Задача Эйлера о многограннике.