О трех перпендикулярах, обратная

Если проекция наклонной перпендикулярна какой-либо прямой на плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна к этой прямой.

Дано:α;АО⊥α,АВ-наклонная; ОВ⊥m.

Доказать: АВ ⊥СD

Дополнительное построение. Отложим от точки В на прямой М равные отрезки ВС=ВD, точки С и D соединить с точками О и А.

Доказательство: Рассмотрим треугольник СОD;ОВ ⊥m=> ОВ ⊥CDпо условию, СВ=DВ (по построению)=>треугольник СОD-равнобедренный т.к в равнобедренном треугольнике медиана, является биссектрисой и высотой=>СО=DО;АС=АD

(равные проекции имеют равные наклонные). Рассмотрим треугольник САD, АС=АD(по доказанному)=>треугольник САD-равнобедренный иАBмедиана,которая является высотой и биссектрисой.Значит АВ⊥С. (что и требовалось доказать).

Теорема№9