2015-10-22
840
Приложение 1. Варианты контрольных заданий
В таблицах 1-2 приведены номера задач, входящих в контрольные работы: № 7 - «Интегральное исчисление функции одной переменной», № 8 - «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Студент должен выполнять контрольную работу по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой номера его зачетной книжки. Первая цифра номера задачи соответствует номеру контрольной работы, а последняя - номеру варианта.
Таблица 1
Контрольная работа № 7
| Вариант | Номер задачи | ||||||
| 7.1 | 7.11 | 7.21 | 7.31 | 7.41 | 7.51 | 7.61 | |
| 7.2 | 7.12 | 7.22 | 7.32 | 7.42 | 7.52 | 7.62 | |
| 7.3 | 7.13 | 7.23 | 7.33 | 7.43 | 7.53 | 7.63 | |
| 7.4 | 7.14 | 7.24 | 7.34 | 7.44 | 7.54 | 7.64 | |
| 7.5 | 7.15 | 7.25 | 7.35 | 7.45 | 7.55 | 7.65 | |
| 7.6 | 7.16 | 7.26 | 7.36 | 7.46 | 7.56 | 7.66 | |
| 7.7 | 7.17 | 7.27 | 7.37 | 7.47 | 7.57 | 7.67 | |
| 7.8 | 7.18 | 7.28 | 7.38 | 7.48 | 7.58 | 7.68 | |
| 7.9 | 7.19 | 7.29 | 7.39 | 7.49 | 7.59 | 7.69 | |
| 7.10 | 7.20 | 7.30 | 7.40 | 7.50 | 7.60 | 7.70 |
Таблица 2
|
|
|
Контрольная работа № 8
| Вариант | Номер задачи | ||||||
| 8.1 | 8.1 | 8.21 | 8.31 | 8.41 | 8.51 | 8.61 | |
| 8.2 | 8.12 | 8.22 | 8.32 | 8.42 | 8.52 | 8.62 | |
| 8.3 | 8.13 | 8.23 | 8.33 | 8.43 | 8.53 | 8.63 | |
| 8.4 | 8.14 | 8.24 | 8.34 | 8.44 | 8.54 | 8.64 | |
| 8.5 | 8.15 | 8.25 | 8.35 | 8.45 | 8.55 | 8.65 | |
| 8.6 | 8.16 | 8.26 | 8.36 | 8.46 | 8.56 | 8.66 | |
| 8.7 | 8.17 | 8.27 | 8.37 | 8.47 | 8.57 | 8.67 | |
| 8.8 | 8.18 | 8.28 | 8.38 | 8.48 | 8.58 | 8.68 | |
| 8.9 | 8.19 | 8.29 | 8.39 | 8.49 | 8.59 | 8.69 | |
| 8.10 | 8.20 | 8.30 | 8.40 | 8.50 | 8.60 | 8.70 |
Приложение 2.Условия заданий контрольных работ
Интегральное исчисление функции одной переменной (к. р. № 7)
7.1-7.10. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результат проверить дифференцированием.
7.1. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.2. a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.3. a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.4. a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.5. a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.6. a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.7. a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.8. a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.9. a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.10. a) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.11-7.20. Вычислить определенные интегралы.
7.11. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.12. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
|
|
|
7.13. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.14. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.15. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.16. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.17. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.18. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.19. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.20. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7.21-7.30. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
7.21. а) 
; б) 
;
7.22. а) 
; б) 
.
7.23. а) 
; б) 
.
7.24. а) 
; б) 
.
7.25. а) 
; б) 
.
7.26. а) 
; б) 
.
7.27. а) 
; б) 
.
7.28. а) 
; б) 
.
7.29. а) 
; б) 
.
7.30. а) 
; б) 
.
7.31-7.40. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 10 частей.
7.31. 
. 7.32. 
.
7.33. 
. 7.34. 
.
7.35. 
. 7.36. 
.
7.37. 
. 7.38. 
.
7.39. 
. 7.40. 
.
7.41-7.50. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.
7.41. 
7.42. 
7.43. 
(астроида).
7.44. 
7.45. 
7.46. 
7.47. 
.
7.48. 
7.49. 
7.50. 
7.51-7.60. Вычислить длину дуги кривой.
7.51. 
7.52. 
7.53. 
.
7.54. 
7.55. 
.
7.56. 
, отсекаемой прямой y(x) = x.
7.57. 
, a > 0 - константа.
7.58. 
7.59. y(x)= lncosx; 
.
7.60. 
.
7.61-7.70. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох или полярной оси фигуры, ограниченной следующими линиями.
7.61. 
, параметр а > 0.
7.62. y(x)= lnx, (1 £ x £ e).
7.63. 
.
7.64. 
, параметр a > 0.
7.65. 
.
7.66. 
.
7.67. 
.
7.68. 
.
7.69.
7.70. 
Дифференциальные уравнения (к. р. № 8)
8.1-8.10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
8.1. 
8.2. 
8.3. 
8.4. 
8.5. 
8.6. 
8.7. 
8.8. 
8.9. 
8.10. 
8.11-8.20. Решить задачу Коши.
8.11. 
8.12. 
8.13. 
8.14. 
8.15. 
8.16. 
8.17. 
8.18. 
8.19. 
8.20. 
8.21-8.30. Найти общее решение дифференциального уравнения.
8.21. 
8.22. 
8.23. 
8.24. 
8.25. 
8.26. 
8.27. 
8.28. 
8.29. 
8.30. 
8.31-8.40. Найти общее решение линейного неоднородного дифферен-циального уравнения: в случае а - методом вариации произвольных постоянных; в случае б - определяя частное решение по виду правой части.
8.31. а) 
; б) 
.
8.32. а) 
; б) 
.
8.33. а) 
; б) 
.
8.34. а) 
; б) 
.
8.35. а) 
; б) 
.
8.36. а) 
; б) 
.
8.37. а) 
; б) 
.
8.38. а) 
; б) 
.
8.39. а) 
; б) 
.
8.40. а) 
; б) 
.
8.41-8.50. Составить дифференциальное уравнение, найти его частное решение, исходя из условий задачи.
8.41. Найти кривую, проходящую через точку А(1;2), у которой длина подкасательной в каждой точке равняется ее удвоенной абсциссе.
8.42. Найти кривую, проходящую через точку А(1;1), у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен абсциссе точки касания.
8.43. Найти кривую, проходящую через точку А(1;1/3), у которой угловой коэффициент касательной, проведенной к ней в любой точке, втрое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания.
8.44. Найти кривую, проходящую через точку А(2;1), у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен соответствующей поднормали.
8.45. Найти кривую, проходящую через точку А(1;2), у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равен произведению координат точки касания.
8.46. Найти кривую, проходящую через точку А(1;3), у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.
8.47. Найти кривую, проходящую через точку А(1;1), у которой подкасательная равна сумме абсциссы и ординаты точки касания.
8.48. Найти кривую, проходящую через точку А(1;0), у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен полярному радиусу точки касания.
8.49. Найти кривую, проходящую через точку А(1;2), у которой произведение абсциссы точки касания и абсциссы точки пересечения нормали с осью Ох равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.
8.50. Найти кривую, проходящую через точку А(-1;-2), у которой подкасательная в каждой точке равна 2.
8.51-8.60. Составить дифференциальное уравнение и задачу Коши, соответствующие условиям задачи. Указать тип уравнения и метод его решения.
8.51. При движении тела массой m в неоднородной среде сила сопро-тивления 
, где v - скорость тела; s - пройденный путь. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость - v0.
8.52. Материальная точка массой m совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону F = F0 cosw t, где F0,w - константы. Найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени она имела скорость v0.
|
|
|
8.53. С некоторой высоты вертикально вниз брошено тело массой m. Найти закон изменения скорости v = v(t) падения этого тела, если на него действует сила тяжести и тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости.
8.54. Тело, находящееся в начальный момент времени в жидкости, погружается в нее под действием собственного веса без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон движения тела, если его масса m.
8.55. Точка массой m движется прямолинейно. На нее действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности - k1). Кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности - k2). Найти зависимость скорости от времени, считая, что в начальный момент скорость равна нулю.
8.56. Частица брошена вертикально вверх со скоростью v0. На нее действует сила тяжести и сила сопротивления F = 2kmv, где k - коэффициент пропорциональности, m - масса частицы и v - скорость. Найти расстояние частицы от точки бросания в любой момент времени t.
8.57. Изолированному проводнику сообщен заряд qо. Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в каждый момент времени пропорциональна наличному заряду проводника. Определить заряд проводника в любой момент времени t.
8.58. Тело массой m, брошенное вертикально вверх со скоростью v0, испытывает сопротивление воздуха силой F = kv, где k - коэффициент пропорциональности, v - скорость. Найти закон движения тела.
8.59. Материальная точка массой m в момент времени t = 0 начинает прямолинейное движение без начальной скорости под действием силы, которая прямо пропорциональна времении обратно пропорциональна скорости движения точки. Найти закон движения точки.
8.60. Тело массой m движется с начальной скоростью v0 под действием силы F = 10(1- t), которая совпадает по направлению со скоростью. Найти закон движения тела.
|
|
|
8.61-8.70. Решить систему линейных дифференциальных уравнений двумя способами: методом исключения и с помощью характеристического уравнения.
8.61. 
8.62. 
8.63. 
8.64. 
8.65. 
8.66. 
8.67. 
8.68. 
8.69. 
8.70. 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1979. Т. 1.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука. 1984.
3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.
4. Щипачев В. С. Основы высшей математики. М.: Высш. шк., 1989.
ОГЛАВЛЕНИЕ
