2015-10-22
509
12.1. – 12.10. Эксперимент заключается в подбрасывании двух игральных костей. Определить вероятность того, что а) сумма очков не превосходит N; б) произведение очков не превосходит N; в) произведение числа очков делится на N.
12.1. N = 5. 12.2. N = 6. 12.3. N = 7.
12.4. N = 8. 12.5. N = 7. 12.6. N = 8.
12.7. N = 9. 12.8. N = 10. 12.9. N = 11.
12.10. N = 5.
12.11. – 12.20. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Вычислить вероятность того, что среди них r выигрышных билетов.
12.11. n = 16, k = 13, m = 8, r = 6.
12.12. n = 17, k = 14, m = 9, r = 7.
12.13. n = 18, k = 15, m = 10, r = 8.
12.14. n = 19, k = 16, m = 11, r = 9.
12.15. n = 20, k = 15, m = 12, r = 6.
12.16. n = 17, k = 13, m = 11, r = 6.
12.17. n = 21, k = 14, m = 13, r = 10.
12.18. n = 23, k = 20, m = 15, r = 12.
12.19. n = 22, k = 19, m = 14, r = 10.
12.20. n = 25, k = 22, m = 17, r = 15.
12.21. – 12.20. Два игрока поочередно бросают монету. Выигрывает тот игрок, у которого раньше выпадет герб. Первым бросок делает А, второй бросок – В, третий – А и т. д. Найти вероятность того, что выиграет игрок В не позднее k –го броска.
12.21. k = 10. 12.22. k = 5. 12.23. k = 12.
12.24. k = 13. 12.25. k = 8. 12.26. k = 9.
12.27. k = 6. 12.28. k = 4. 12.29. k = 7.
12.30. k = 11.
12.31. – 12.40. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i –й завод поставляет mi процентов изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i –го завода ni процентов первосортных. Купленное изделие оказалось первосортным. Определить вероятность того, что оно было произведено на j –ом заводе.
| Задача | m 1 | m 2 | m 3 | n 1 | n 2 | n 3 | j |
| 12.31. | |||||||
| 12.32. | |||||||
| 12.33. | |||||||
| 12.34. | |||||||
| 12.35. | |||||||
| 12.36. | |||||||
| 12.37. | |||||||
| 12.38. | |||||||
| 12.39. | |||||||
| 12.40. |
12.41. – 12.50. В каждом из независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью p. Найти вероятность того, что событие А произойдет а) ровно М раз, б) от K до М раз, в) больше чем М раз, в) меньше K раз.
| Задача | n | p | M | K |
| 12.41. | 0.36 | |||
| 12.42. | 0.37 | |||
| 12.43. | 0.38 | |||
| 12.44. | 0.39 | |||
| 12.45. | 0.40 | |||
| 12.46. | 0.41 | |||
| 12.47. | 0.42 | |||
| 12.48. | 0.43 | |||
| 12.49. | 0.44 | |||
| 12.50. | 0.45 |
12.51.–12.60. Вероятность производства нестандартной детали равна р. Контролер берет наудачу деталь из партии и проверяет ее качество. Если деталь оказывается нестандартной, то дальнейшие испытания прекращаются и партия задерживается. Если деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую деталь на проверкуи так далее, но всегда он проверяет не более n деталей. Случайная величина Х – число проверенных деталей. Составить закон распределения случайные величины Х, найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D (X) и средне квадратичное отклонение s Х .
12.51. p = 0.1, n = 5. 12.52. p = 0.1, n = 4.
12.53. p = 0.05, n = 5. 12.54. p = 0.05, n = 4.
12.55. p = 0.15, n = 5. 12.56. p = 0.15, n = 4.
12.57. p = 0.2, n = 4. 12.58. p = 0.2, n = 5.
12.56. p = 0.25, n = 6. 12.56. p = 0.3, n = 6.
12.61. – 12.70. Плотность распределения системы случайных величин (X, Y) задана формулой:
1. Найти постоянную С.
2. Найти одномерные (маргинальные) плотности fX (x) и fY (y) случайных величин X и Y.
3. Вычислить вероятность P (aX > bY).
4. Вычислить математические ожидания М (Х), М (Y), дисперсии D (X), D (Y), коэффициент корреляции r XY.
5. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
12.61. k = 1, a = 2, b = 2. 12.62. k = 3, a = 3, b = 1.
12.63. k = 2, a = 1, b = 4. 12.64. k = 1, a = 4, b = 2.
12.65. k = 3, a = 3, b = 2. 12.66. k = 2, a = 5, b = 1.
12.67. k = 2, a = 4, b = 2. 12.68. k = 2, a = 2, b = 2.
12.69. k = 3, a = 1, b = 3. 12.70. k = 4, a = 2, b = 3.
12.71.– 12.80. По выборке Х 1, Х 2, …, Хn, объема n из нормально распределенной генеральной совокупности, вычислены характеристики 
и 
. Найти доверительный интервал для математического ожидания a = M (Xi), надежности g. Вычисления производить с точностью до 0.001.
12.71. n = 20, M 1 = 71.13, M 2 = 261.88, g = 0.90.
12.72. n = 21, M 1 = 63.38, M 2 = 205.27, g = 0.995.
12.73. n = 22, M 1 = 67.90, M 2 = 219.29, g = 0.95.
12.74. n = 23, M 1 = 79.13, M 2 = 282.75, g = 0.98.
12.75. n = 24, M 1 = 80.79, M 2 = 294.24, g = 0.99.
12.76. n = 25, M 1 = 83.72, M 2 = 292.87, g = 0.90.
12.77. n = 26, M 1 = 89.12, M 2 = 317.87, g = 0.995.
12.78. n = 27, M 1 = 84.62, M 2 = 291.44, g = 0.95.
12.79. n = 28, M 1 = 96.98, M 2 = 363.89, g = 0.99.
12.80. n = 29, M 1 = 99.66, M 2 = 367.66, g = 0.99.
Список литературы
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1985.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1984.
3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.
4. Щипачев В. С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 2. М.: Высшая школа, 1986.
6. Сборник задач по уравнениям математической физики. Под ред. В.С. Владимирова. – М.: Наука,1974г.
7. Сборник задач по математике. Специальные курсы. Под ред. А. В. Ефимова – М.: Наука, 1984.
8. Боровков А. А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1976.
9. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975.
10. Захаров В. К., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1983.
11. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Высшая школа, 2000.,
12. Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.
13. Шушерина О. А. Высшая математика. Теория вероятностей.– Красноярск: КГТА, 1994.
