Вычисление производных функций.
Геометрический и физический смысл производной.
Производные высших порядков
1. Цель работы
Приобретение умений дифференцировать функции, заданные явно, неявно и параметрически, находить производные высших порядков, решать задачи на геометрический и физический смысл производной, в том числе и средствами программы MathCAD.
2. Содержание работы
1) Вычислите производные функций y = f (x) (табл. 1, задания А, Б, В). Решение оформите в тетради.
2) Вычислите производные функций, заданных неявно и параметрически (табл. 2). Решение оформите в тетради.
3) Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x) в точке с абсциссой х 0 (табл. 3). Решение оформите в тетради.
4) Вычислите вторые производные функций (табл. 1, задание Г и табл. 2, задание Б). Решение оформите в тетради.
5) Найдите скорость и ускорение в момент времени t 0 материальной точки, которая движется по закону S = S (t) (табл. 4). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.
6) Используя программу MathCAD, найдите первую и третью производные функции y = f (x) (табл. 5). Выполненное задание отчитайте преподавателю.
|
|
3. Общие сведения и примеры выполнения заданий
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной функции y = f (x) в точке х и обозначается или , т.е. (рис. 1).
Рис. 1
Таблица производных
1) , где С – const. 8) .
2) , где a – действительное число. 9) .
3) , где a > 0, a ¹ 1. 10) .
4) . 11) .
5) , где a >0, a ¹1. 12) .
6) . 13) .
7) . 14) .
Правила дифференцирования
1) .
2) .
3) , где C – const.
4) .
5) .
Пусть y = f (t), где t = j(x). Тогда производная сложной функции y = f (j(x)) находится по правилу:
. (1)
Если сложная функция образована суперпозицией более двух функций, то формулу (1) нужно применить соответствующее число раз.
Пример 1. Найдите производную функции:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Используем формулу (1) и таблицу производных. Получим:
.
б) Используем правило дифференцирования произведения двух функций, формулу (1) и таблицу производных. Получим:
.
в) Используем правило дифференцирования частного, формулу (1) и таблицу производных. Получим:
.
Ответ: а) ; б) ; в) .
Если функция задана неявно, т. е. уравнением F (x; y) = 0, не разрешенным относительно y, то для нахождения производной нужно найти производные от левой и правой части уравнения, считая, что y (х) есть сложная функция от х, и полученное после этого уравнение разрешить относительно искомой производной .
Пример 2. Найдите производную функции, заданную неявно:
а) x 2 + 3 xy – y 3 = cos y – 1, б) х 4 – ху + у 4 = 1.
Решение. а) Помня, что y есть сложная функция от x и, применяя правила дифференцирования суммы, произведения, а также таблицу производных, получим:
|
|
,
,
,
,
,
,
.
б) Рассуждая аналогично, получим:
,
,
,
,
,
,
.
Ответ: а) , б) .
Если функция задана параметрически где t – параметр, то производная находится по формуле:
. (2)
Пример 3. Найдите производную функции заданную параметрически.
Решение. Вычисляя по формуле (2), используем правило дифференцирования разности, формулу (1) и таблицу производных. Получим:
.
Указание. Преобразование получено по формуле понижения степени: .
Ответ: .
Предельное положение секущей, когда точки M и N совпадут, называется касательной к графику функции y = f (x) в точке М (рис. 1).
Производная имеет геометрический смысл углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке М (x; f (x)). Если точка М имеет фиксированные координаты (x 0; f (x 0)), то и уравнение касательной примет вид:
. (3)
Прямая, проходящая через точку М (x 0; f (x 0)) перпендикулярно касательной, называется нормалью. Уравнение нормали имеет вид:
, (4)
если . При уравнение нормали имеет вид х = х 0.
Пример 4. Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х 0 = 3.
Решение. Найдем ординату точки х 0: .
Т.к. , то по геометрическому смыслу производной функции угловой коэффициент касательной, проведенной к графику этой функции в точке (3; 6) равен .
Уравнение касательной согласно формуле (3) имеет вид:
у – 6 = –5(х – 3) или у = –5 х + 21.
По формуле (4) уравнение нормали имеет вид:
или или .
Ответ: у = –5 х + 21 – уравнение касательной; – уравнение нормали.
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = S (t), где t – время движения, S (t) – путь, пройденный за время t. Производная от пути по времени имеет физический смысл мгновенной скорости при прямолинейном движении.
Пример 5. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где S – в метрах, t – в секундах. Найдите скорость движения данной точки в момент времени t 0 = 2 с.
Решение. Вычислим производную от пути по времени: . Согласно физическому смыслу производной скорость в момент времени t 0 = 2 с равна м/с.
Ответ: 6 м/с.
Выражение называется дифференциалом функции f (x) в точке х 0 и обозначается символом , где по определению обозначено dx = D x.
Дифференциал функции имеет геометрический смысл части приращения функции f (x) в точке х 0 при перемещении не по графику функции, а по графику касательной, проведенной в точке (x 0; f (x 0)) (рис. 2).
Рис. 2
Если дифференциал вычисляется в произвольной точке х, то .Отсюда следует другое обозначение производной как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.
Пример 6. Найдите дифференциал функции .
Решение. Вычислим производную:
.
Тогда дифференциал равен .
Ответ: .
Пусть функция y = f (x) на интервале (a; b) имеет производную , которая также является функцией от х и называется производной первого порядка.
Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается символами .
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается .
Аналогично определяются производные 4-го, 5-го и т. д. n -го порядка. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Производные 2-го порядка от функций, заданных неявно и параметрически, определяются аналогично как производные от производных первого порядка.
Пример 7. Найдите производную второго порядка функции:
а) ; б) х 2 + у 2 = 1; в)
Решение. а) Вычислим первую производную, используя формулу (1) и таблицу производных:
.
Теперь найдем вторую производную по правилу производной произведения, формуле (1) и таблицы производных:
|
|
.
б) Найдем первую производную функции, заданной неявно:
,
,
,
,
,
.
Найдем вторую производную:
.
в) Вычислим по формуле (2) первую производную функции, заданной параметрически: .
Вторую производную найдем по формуле
.
Ответ: а) ; б) ; в) .
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = S (t) со скоростью , где t – время движения, S (t) – путь, пройденный за время t. Вторая производная от пути по времени имеет физический смысл ускорения точки при ее прямолинейном и неравномерном движении. Если же точка движется равномерно, т.е. с постоянной скоростью V (t) = const, то .
Пример 8. Дано уравнение движения некоторой точки , где S – в метрах, t – в секундах. Найдите ускорение этой точки в момент времени t 0 = 3 с.
Решение. Найдем вторую производную от пути по времени: , . Тогда по физическому смыслу второй производной ускорение точки равно: м/с2.
Ответ: м/с2.
Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка и обозначается . Аналогично определяются дифференциалы 3-го, 4-го и т. д. порядка. Отсюда следует другое обозначение производных высших порядков: , и т. д.
Пример 9. Вычислите дифференциал второго порядка функции .
Решение. Найдем первую и вторую производные:
,
.
Т. о., дифференциал второго порядка равен:
.
Ответ: .
Правило Лопиталя. Пусть отношение представляет собой неопределенность вида или при х ® х 0, где х 0 – точка или ¥. Тогда предел отношения функций равен пределу отношения их производных: . Если отношение вновь представляет собой неопределенность вида или , то правило Лопиталя можно применить повторно до исчезновения неопределенности и, вообще говоря, любое конечное число раз.
Пример 10. Найдите по правилу Лопиталя.
Решение.
.
Указание. Правило Лопиталя использовали два раза.
Ответ: .
***
Настройка окон программы MathCAD для вычисления производных функций:
· На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то V iew ® Toolbars ® M ath). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Calculus.
|
|
Для вычисления производной функции:
· Выберите нужную кнопку или на панели Calculus. Первая кнопка используется для вычисления первой производной, а вторая – для производной высшего порядка.
· В появившемся шаблоне заполните все поля, используя, если нужно, панель Calculator.
· Введите знак «®», набранный с клавиатуры с помощью комбинации клавиш Ctrl+«×» и щелкните на свободном поле.
4. Индивидуальные задания
Таблица 1
№ вар. | А) | Б) | В) | Г) |
Продолжение табл. 1
№ вар. | А) | Б) | В) | Г) |
Таблица 2
№ вар. | А) | Б) |
Продолжение табл. 2
№ вар. | А) | Б) |
Таблица 3
№ вар. | y = f (x) | х 0 | № вар. | y = f (x) | х 0 |
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 | |||||
–1 |
Таблица 4
№ вар. | S = S (t) | t 0 | № вар. | S = S (t) | t 0 |
Продолжение табл. 4
№ вар. | S = S (t) | t 0 | № вар. | S = S (t) | t 0 |
Таблица 5
№ вар. | y = f (x) | № вар. | y = f (x)) |