Векторное произведение двух векторов.
Смешанное произведение трех векторов
1. Цель работы
Приобретение умений вычислять векторное и смешанное произведения векторов, решать задачи на геометрический и физический смысл.
2. Содержание работы
1) Вычислите векторное произведение векторов и (табл. 1). Решение оформите в тетради.
2) Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C и D. Вычислите площадь указанной грани (табл. 2). Решение оформите в тетради.
3) Сила приложена к точке B. Найдите модуль момента силы относительно точки А (табл. 3). Решение оформите в тетради.
4) Вычислите смешанное произведение векторов , и (табл. 1). Являются ли они компланарными? Решение оформите в тетради.
5) Найдите объем пирамиды ABCD (табл. 2). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.
3. Общие сведения и примеры выполнения заданий
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:
1)
2) вектор одновременно ортогонален вектору и
3) направление вектора таково, что если смотреть с его конца, то поворот от к на угол j совершается против часовой стрелки (рис. 1).
|
|
Рис. 1
Свойства векторного произведения:
1) ,
2) т.т.т. – условие коллинеарности в векторной форме,
3) ,
4) .
Пусть векторы и , тогда координаты вектора вычисляются по формуле:
. (1)
Пример 1. Найдите координаты вектора , если , .
Решение. По формуле (1) получим:
.
Ответ: .
Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.
. (2)
Отсюда следует, что площадь треугольника, двумя сторонами которого служат векторы и равна
. (3)
Пример 2. Найдите площадь треугольника с вершинами А (1; 2; 0), В (3; 2; 1), С (–2; 1; 2).
Решение. Найдем координаты любых двух векторов, имеющих общее начало. Например, и .
Теперь вычислим векторное произведение векторов и по формуле (1):
.
Длина вектора равна:
.
Т.о. площадь D АВС по формуле (3) будет равна:
(кв. ед.).
Ответ: кв. ед.
Физический смысл векторного произведения состоит в том, что вращающий момент (ед. изм.: Ньютон×метр) относительно точки A силы , приложенной к точке B, представляет собой векторное произведение вектора на вектор (рис. 2), т.е.
(4)
Рис. 2
Пример 3. Сила приложена к точке B (0; 2; 1). Определите момент этой силы относительно точки A (–1; 2; 3).
Решение. Найдем координаты вектора : . Вычислим векторное произведение векторов и по формуле (1):
.
Согласно формуле (4) момент .
Ответ: .
Смешанным произведением трех векторов , и называется число, обозначаемое и равное скалярному произведению вектора на вектор , т.е. .
|
|
Пусть векторы , и , тогда смешанное произведение вычисляется по формуле:
. (5)
Пример 4. Найдите смешанное произведение векторов , , .
Решение. Согласно формуле (5) получим:
.
Ответ: .
Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов состоит в том, что его модуль численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах (рис. 3):
. (6)
Если на трех векторах строить треугольную пирамиду, то:
. (7)
Рис. 3
Пример 5. Вычислите объем пирамиды с вершинами в точках A 1(5; 1; –4), A 2(1; 2; –1), A 3(3; 3; –4), A 4(2; 2; 2).
Решение. Найдем координаты трех векторов, имеющих общее начало. Например, , , .
По формуле (5) вычислим смешанное произведение этих векторов:
.
Тогда по формуле (7) объем пирамиды равен:
(куб. ед.).
Ответ: куб. ед.
Условием компланарности трех векторов является равенство:
или . (8)
Пример 6. Докажите, что три вектора , , компланарны.
Решение. Проверим выполнимость равенства (8):
. Что и требовалось доказать.
4. Индивидуальные задания
Таблица 1
№ вар. | |||
Таблица 2
№ вар. | A | B | C | D | Грань |
(3; 4; 5) | (1; 2; 1) | (–2; –3; 6) | (3; –6; –3) | ACD | |
(–7; –5; 6) | (–2; 5; –3) | (3; –2; 4) | (1; 2; 2) | BCD | |
(1; 3; 1) | (–1; 4; 6) | (–2; –3; 4) | (3; 4; –4) | ACD | |
(2; 4; 1) | (–3; –2; 4) | (3; 5; –2) | (4; 2; –3) | ABD | |
(–5; –3; –4) | (1; 4; 6) | (3; 2; –2) | (8; –2; 4) | ACD | |
(3; 4; 2) | (–2; 3; –5) | (4; –3; 6) | (6; –5; 3) | ABD | |
(–4; 6; 3) | (3; –5; 1) | (2; 6;–4) | (2; 4; –5) | ACD | |
(7; 5; 8) | (–4; –5; 3) | (2; –3; 5) | (5; 1; –4) | BCD | |
(3; –2; 6) | (–6; –2; 3) | (1; 1; –4) | (4; 6; –7) | ABD | |
(–5; –4; –3) | (7; 3; –1) | (6; –2; 0) | (3; 2; –7) | BCD | |
(3; –5; –2) | (–4; 2; 3) | (1; 5; 7) | (–2; –4; 5) | ACD | |
(7; 4; 9) | (1; –2; –3) | (–5; –3; 0) | (1; –3; 4) | ABD | |
(–4; –7; –3) | (–4; –5; 7) | (2; –3; 3) | (3; 2; 1) | BCD | |
(–4; –5; –3) | (3; 1; 2) | (5; 7; –6) | (6; –1; 5) | ACD | |
(5; 2; 4) | (–3; 5; –7) | (1; –5; 8) | (9; –3; 5) | ABD | |
(–6; 4; 5) | (5; –7; 3) | (4; 2; –8) | (2; 8; –3) | ACD | |
(5; 3; 6) | (–3; –4; 4) | (5; –6; 8) | (4; 0; –3) | BCD | |
(5; –4; 4) | (–4; –6; 5) | (3; 2; –7) | (6; 2; –9) | ABD | |
(–7; –6; –5) | (5; 1; –3) | (8; –4; 0) | (3; 4; –7) | BCD | |
(7; –1; –2) | (1; 7; 8) | (3; 7; 9) | (–3; –5; 2) | ACD | |
(5; 2; 7) | (7; –6; –9) | (–7; –6; 3) | (1; –5; 2) | ABD | |
(–2; –5; –1) | (–6; –7; 9) | (4; –5; 1) | (2; 1; 4) | BCD | |
(–6; –3; –5) | (5; 1; 7) | (3; 5; –1) | (4; –2; 9) | ACD | |
(7; 4; 2) | (–5; 3; –9) | (1; –5; 3) | (7; –9; 1) | ABD | |
(–8; 2; 7) | (3; –5; 9) | (2; 4; –6) | (4; 6; –5) | ACD | |
(4; 3; 1) | (2; 7; 5) | (–4; –2; 4) | (2; –3; –5) | ACD |
Таблица 3
№ вар. | А | В | |
{5; –3; 9} | (2; 6; 5) | (3; 4; –6) | |
{–3; 1; –9} | (9; 5; –7) | (6; –3; 5) | |
{2; 19; –4} | (6; –4; –1) | (5; 3; 4) | |
{–4; 5; –7} | (7; 0; –3) | (4; –2; 3) | |
{4; 11; –6} | (4; –2; –3) | (3; 5; 1) | |
{3; –5; 7} | (0; 4; 3) | (2; 3; –5) | |
{5; 4; 11} | (4; 2; –6) | (6; 1; –5) | |
{–9; 5; 7} | (4; –3; 5) | (1; 6; –3) | |
{6; 5; –7} | (4; 9; –6) | (7; –6; 4) |
Продолжение табл. 3
№ вар. | А | В | |
{–5; 4; 4} | (2; –4; 1) | (3; 7; –5) | |
{4; 7; –3} | (8; 5; –4) | (5; –4; 2) | |
{2; 2; 9} | (2; 4; 0) | (4; 2; –3) | |
{9; –3; 4} | (4; 6; –5) | (–5; 4; –2) | |
{5; –2; 3} | (2; –3; –6) | (7; 1; –5) | |
{3; –5; 4} | (5; 6; –3) | (–3; 5; 9) | |
{–10; 6; 5} | (4; 7; –5) | (4; –5; 9) | |
{5; –3; 1} | (3; 8; –5) | (–5; 3; 7) | |
{–5; 8; 4} | (0; 7; 4) | (2; –4; 7) | |
{7; –5; 2} | (6; 4; –3) | (–3; 2; 0) | |
{3; –4; 2} | (4; –1; –4) | (5; 3; –7) | |
{4; –2; –5} | (4; 5; –3) | (–3; 2; –6) | |
{7; 3; –4} | (4; –2; 11) | (–7; 2; 5) | |
{9; –4; 4} | (4; –5; 9) | (5; –4; 3) | |
{6; –4; 5} | (7; –3; 6) | (–5; –4; 2) | |
{5; 5; –6} | (8; –1; 7) | (–9; 4; 7) | |
{7; –6; 2} | (6; –2; 7) | (3; –6; 1) |