Пусть n = 2:
Если обе части первого уравнения умножить на a22, а обе части второго – на (-a12), и затем сложить полученные уравнения, то мы исключим из системы переменную x2. Аналогично можно исключить переменную x1 (умножив обе части первого уравнения на (-a21), а обе части второго – на a11). В результате получим систему:
Выражение в скобках есть определитель системы
Обозначим
Тогда система примет вид:
Из полученной системы следует, что если определитель системы
D ¹ 0, то система будет совместной и определенной. Ее единственное решение можно вычислить по формулам:
Если D = 0, а D1 ¹ 0 и/или D2 ¹ 0, то уравнения системы примут вид 0*х1 = D2 и/или0*х1 = D2. В этом случае система будет несовместной.
В случае, когда D = D1 = D2 = 0, система будет совместной и неопределенной (будет иметь бесконечное множество решений), так как примет вид:
Теорема Крамера (доказательство опустим). Если определитель матрицы системы n уравнений D не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
,
где Dj - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Вышеприведенные формулы называют формулами Крамера.
В качестве примера решим этим методом систему, которую до этого решали методом обратной матрицы:
Недостатки рассмотренных методов:
1) существенная трудоемкость (вычисление определителей и нахождение обратной матрицы);
2) ограниченная область применения (для систем с квадратной матрицей).
Реальных экономические ситуации чаще моделируются системами, в которых число уравнений и переменных довольно значительное, причем уравнений больше, чем переменных Поэтому на практике более распространен следующий метод.