Элементы комбинаторики

При вычислении вероятностей случайных событий часто приходится использовать формулы комбинаторики. Комбинаторными называются задачи, в которых требуется произвести подсчет всех составленных по некоторому правилу соединений из некоторого числа различных предметов (элементов).

Различают три типа соединений:

1. Перестановки – соединения, отличающиеся только порядком следования элементов при их неизменном числе. Общее число перестановок из n элементов обозначается . Это число равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Символ (читается: эн факториал) есть сокращенное обозначение произведения

Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 без повторения цифр?

Решение: так как искомые соединения содержат все по четыре данных элемента и отличаются друг от друга только порядком следования элементов, то это перестановки, общее число которых:

(для данного примера можно перебрать все эти варианты: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432 и т.д.)

Ответ: 24

2. Размещения – соединения элементов, которые отличаются или порядком элементов в соединении, или самими элементами. Общее число размещений из n элементов по m элементов обозначается , где и вычисляется по формуле

Пример 2. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр?

Решение: так как искомые соединения содержат по два элемента из данных четырех элементов и отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или самими элементами, то это размещения, общее число которых: , где n=4, m=2 (для данного примера перечислим все возможные варианты: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43)

Ответ: 12

3. Сочетания – соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений в сочетаниях порядок следования элементов не имеет значения. Общее число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается , где и вычисляется по формуле

Пример 3. На 6 сотрудников выделены 3 одинаковые путевки в дом отдыха. Сколькими способами их можно распределить?

Решение: так как путевки одинаковые, то число способов их распределения равно числу сочетаний из 6 элементов по 3 элемента (n=6, m=3).

1 1

Ответ: 20

Теория вероятностей – математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.

Под вероятностью случайного события понимают численную меру объективной возможности появления этого события.

Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А, к числу n – всех элементарных исходов. Формула называется классическим определением вероятности.