Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном осуществлении всех этих событий.
Теорема сложения вероятностей. Если события А1, А2, …., Аn несовместимы, т.е. никакие два из них не могут осуществиться вместе, то:
Р(А1+А2+…+Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn).
Вероятность события А, вычисленная в предположении, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается Р(А/В).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:
Р (А1*А2*А3*…*Аn) = Р(А1) * Р(А2/А1) * Р(А3/А1А2) * … * Р(Аn/А1А2 … Аn-1)
Если события А1, А2, А3, …, Аn независимы, т.е. осуществление любого числа из них не меняет вероятностей осуществления остальных, то
|
|
Р (А1*А2*А3*…*Аn) = Р(А1) * Р(А2) * Р(А3) * … * Р(Аn).
Формула полной вероятности, формула Байеса. Если с некоторым опытом связано n исключающих друг друга событий (гипотез) Н1, Н2, Н3, …, Нn и если событие А может осуществиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(Н1) * Р(А/Н1) + Р(Н2) * Р(А/Н2) + … + Р(Нn) * Р(А/Нn)
Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn), то после проведения опыта, в результате которого осуществилось событие А, вероятности гипотез можно переоценить по формуле Байеса:
Р(Нi/А) = (I = 1, 2, …, n)
Формула Бернулли. Если при одних и тех же условиях определений опыт повторяется n раз и если вероятность появления некоторого события А в каждом опыте равна р, то вероятность того, что событие А в серии из n опытов произойдет ровно k раз, находится по формуле Бернулли:
Рn(k) = pn qn-k, где q = 1 - p
Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.
Пример. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25.
При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.
Пример 4. Из 20 лотерейных билетов 3 выигрышных. Какова вероятность того, что их двух наугад взятых билетов оба выигрышные?
Решение: Из 20 билетов выбрать 2 можно способами, это число возможных исходов – n.
А благоприятных исходов m=
|
|
Тогда
Ответ:
Пример 5. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Решение: , где
n – число возможных исходов = , а
m – число благоприятствующих исходов = =
3 2
Тогда
7 3
Ответ:
Пример 6. В урне 15 красных и 5 синих шаров. Вынули 4 шара. Какова вероятность, что два вынутых шара красные, а два синие?
Решение:
3 5
Число возможных исходов
1 1
Два красных шара могут быть выбраны способами, а два синих способами. Тогда благоприятствующих исходов
Искомая вероятность
5 1
1 1
Ответ:
Пример 7. Карточка «Спортлото» содержит 45 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будут угаданы 5 чисел?
Решение: , где , а , где - выбраны 5 и 6, - названо одно из 39 невыигрышных чисел (45-6).
1 1
2 1 1 2 19
20 7 22 15 5
10 5
Ответ:
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
М (Х) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + хпрп.
Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то, если полученный ряд сходится абсолютно.