Индекс числа по модулю

Для первообразного корня g его степени g ⁰=1, g, …, g ^{φ(m) − 1} несравнимы между собой по модулю m и образуют приведенную систему вычетов по модулю m. Поэтому для каждого числа a, взаимно простого с m, найдется показатель ℓ, 0 ⩽ ℓ ⩽ φ(m) − 1, такой, что

Такое число ℓ называется индексом числа a по основанию g.

Количество

Если по модулю m существует первообразный корень g, то всего существует φ(φ(m)) различных первообразных корней по модулю m, причём все они имеют вид , где и .

История

Первообразные корни для простых модулей были введены Эйлером, но существование первообразных корней для любых простых модулей было доказано лишь Гауссом в 1801 году.

Примеры

Число 3 является первообразным корнем по модулю 7. Чтобы в этом убедиться, достаточно каждое число от 1 до 6 представить как некоторую степень тройки по модулю 7:

Примеры наименьших первообразных корней по модулю m

Модуль m

Первообразный корень

—

—

Матрицы

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn.

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)