Матрицы, действия с матрицами

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Для обозначения матриц используются заглавные буквы латинского алфавита A,B,C,D,F… Размерностью матрицы называется величина n×m, где n – число строк, а m – число столбцов матрицы A. Элементы матриц обозначаются прописными буквами латинского алфавита и имеют двойной индекс, например , где i – номер строки, j – номер столбца матрицы A, в котором находится элемент .

размерность матрицы 3×4,

элементы матрицы -

Главную диагональ матрицы составляют элементы с одинаковыми индексами , например, для рассмотренной матрицы элементы образуют главную диагональ матрицы A.

Матрица называется

- квадратной, если число строк n равно числу столбцов m (n=m),

- матрицей-строкой, если содержит только одну строку (n=1),

- матрицей-столбцом, если содержит только один столбец (m=1),

- диагональной, если она квадратная и ненулевыми элементами являются только элементы главной диагонали,

- единичной, если она диагональная и элементами главной диагонали являются единицы (),

- матрицей треугольного вида, если она квадратная и под ее главной диагональю все элементы – нулевые,

- матрицей трапециевидной формы, если она прямоугольная и под ее главной диагональю все элементы – нулевые.

Над матрицами можно совершать следующие действия:

- сложение матриц,

- умножение матриц на число,

- транспонирование матриц,

- произведение матриц друг на друга.

1. При сложении матрицы A размерности n×m и матрицы B размерности n×m получается матрица C размерности n×m, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B, т.е. .

Совпадение размерностей матриц A и B является необходимым условием сложения матриц.

Сложение матриц обладает свойством коммутативности, т.е. A+B=B+A.

Пример 1.1.1. Даны матрицы A и B. Необходимо найти матрицу C=A+B.

Решение: размерности матриц A и B совпадают и равны 3×2. Следовательно, складывать их можно, при сложении получится матрица C размерности 3×2.

Δ.

2. При умножении матрицы A размерности n×m на произвольное действительное число l получается матрица B

размерности n×m, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A и числа l, т.е. .

Пример 1.1.2. Дана матрица A. Умножить матрицу на число 6.

Решение: Δ.

3. При транспонировании матрицы А размерности n×m получается матрица В размерности m×n, каждый элемент которой равен .

Пример 1.1.3. Дана матрица А. Необходимо ее транспонировать.

Решение: Δ.

4. При умножении матрицы А размерности n×m на матрицу В размерности m×k получается матрица С размерности n×k, каждый элемент которой равен сумме парных произведений элементов строки i матрицы А и столбца j матрицы В, т.е.

.

Необходимым условием умножения матриц друг на друга является равенство числа столбцов первой матрицы и числа строк второй матрицы.

Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, т.е. в общем случае , исключение составляют единичная Е и обратная матрицы, для которых .

Пример 1.1.4. Даны матрицы А и В. Найти произведение АВ.

, .

Решение: число столбцов матрицы А равно двум и совпадает с числом строк матрицы В, поэтому перемножать матрицы А и В можно, в результате получим матрицу С размерности 3×4:

,

где Δ

Действия над матрицами позволяют вычислять матричные выражения.

Пример 1.1.5. Даны матрицы А, В. Найти значение матричного выражения

Решение:

□

Задача 1. Даны матрицы и . Найти значение матричного выражения:

Задача 2. Даны матрицы и . Найти значение матричного выражения

Задача 3. Даны матрицы A и B. Доказать возможность и найти произведение матриц :

1.2. Определители. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Любая квадратная матрица обладает числовой характеристикой, которая называется определителем этой матрицы.

Определителем второго порядка матрицы А размерности 2×2 называется число

(1.2.1)

Пример 1.2.1. Дана матрица . Найти определитель матрицы А.

Решение: Δ

Определителем третьего порядка матрицы А размерности 3×3 называется число

Пример 1.2.2. Дана матрица . Найти определитель матрицы А.

Решение:

Определитель четвертого порядка вычисляется через определители третьего порядка по аналогичной формуле. Формула носит название разложения Лапласа и позволяет раскладывать определители любого порядка по элементам любой строки или столбца.

Рассмотрим систему n линейных уравнений c n переменными общего вида

(1.2.3)

Решение данной системы находится по формулам Крамера (если ), где - главный определитель системы

, (1.2.4)

а определители получаются из определителя путем замены столбца с номером i на матрицу-столбец свободных членов.

Пример 1.2.3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Решение: вычислим определители системы и найдем решение по формулам Крамера

Тогда

Ответ: (-1, 3, 2) Δ

Задача 1. Вычислить определители следующих матриц:

Задача 2. Решить системы линейных уравнений методом Крамера:

1.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Рассмотрим систему n линейных уравнений c n переменными общего вида

(1.3.1)

Расширенной матрицей системы называется матрица всех ее коэффициентов вида

(1.3.2)

Две расширенные матрицы называются эквивалентными, если соответствующие им системы линейных уравнений эквивалентны (имеют одинаковое решение). Например, расширенные матрицы

и являются эквивалентными,

так как соответствующие им системы линейных уравнений

и

имеют решение

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений основан на элементарных преобразованиях расширенной матрицы. В результате каждого из элементарных преобразований расширенная матрица изменяется, однако система линейных уравнений, соответствующая полученной матрице, эквивалентна исходной системе линейных уравнений. Следующие преобразования расширенных матриц называются преобразованиями Жордана-Гаусса и не нарушают их эквивалентность:

1. Любые две строки матрицы можно поменять местами.
2. Любую строчку матрицы можно умножить или разделить на любое, не равное нулю, действительное число.
3. К любой строке матрицы можно прибавить любую другую строчку, умноженную на произвольное число.
4. Любые два столбца расширенной матрицы до разделительной черты можно поменять местами с запоминанием первоначального положения (т.е. той переменной, коэффициентами которой он является).

Алгоритм метода Гаусса:

1. Составить расширенную матрицу системы линейных уравнений.
2. Преобразовать расширенную матрицу к трапециевидной форме с помощью эквивалентных преобразований.
3. Составить систему линейных уравнений, соответствующую последней расширенной матрице, и решить ее, начиная с самого короткого уравнения.

Пример 1.3.1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение:

1. Составим расширенную матрицу данной системы линейных уравнений:

2. Преобразуем полученную матрицу к трапециевидной форме:

Составим систему линейных уравнений, соответствующую послед

1. ней расширенной матрице и решим ее

Ответ: (1, 5, 2) Δ

Метод Гаусса используется также при решении систем линейных уравнений, в которых количество уравнений не совпадает с количеством переменных.

Примечание: если в процессе элементарных преобразований расширенной матрицы получена строка вида

,

то ее следует удалить из расширенной матрицы и продолжать преобразования далее, если получена строка вида

, где - ненулевое число,

то решение задачи завершено, а система линейных уравнений несовместна, т.к. соответствующее уравнение

не имеет решений.

Система линейных уравнений называется

- совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

- несовместной, если не имеет решений;

- определенной, если имеет ровно одно решение;

- неопределенной, если имеет множество решений. Решение в этом случае называется общим.

Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса: