Геометрический способ решения

Рис. 1

Теорема. Пусть дано дифференциальное уравнение (2), где функция f (x, y) определена в некоторой области D плоскости xOy, содержащей точку (x ₀, y ₀). Если функция f (x, y) удовлетворяет условиям:

а) f (x, y) — непрерывная функция двух переменных в области D;

б) f (x, y) имеет частную производную , ограниченную в D,

то найдется интервал (х ₀ – h; х ₀ + h), на котором существует единственное решение y = y(x) дифференциальногоуравнения (2), удовлетворяющее условию (5).

Замечание 1. Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения (1) или (2), но эти условия не являются необходимыми. Может существовать единственное решениеуравнения (1) или (2), удовлетворяющее условию (5), хотя в точке (x ₀, y ₀) не выполняется условие а, или б, или оба вместе.

Особым решением уравнения (1) или (2) называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т.е. в любой окрестности каждой точки (x, y) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку, или не существует ни одной.

Особое решениеуравнения (1) или (2) не содержится в общем решении (4), т.е. не получается из него ни при каких частных значениях постоянной С.

Геометрический способ решения

Пусть дано уравнение (2) и функция у = j(x) – его решение. График решения представляет собой непрерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой коэффициент к интегральной кривой в каждой ее точке (x, y) равен значению в этой точке правой части уравнения f (x, y).

Таким образом, уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к графику интегральной кривой в этой точке. Зная x и y, можно указать направление касательной к этой интегральной кривой в точке(x, y).

Если сопоставить каждой точке интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равен f (x, y), то получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение определяет на плоскости Oxy поле направлений. Решение этого уравнения - интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке. Построив на плоскости поле направлений данного дифференциального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые.

Чтобы облегчить построение интегральных кривых, находят линии, во всех точках которых направления одинаковы. Такие линии называют изоклины («изо» – равный, «клино» – наклон).