2017-11-30
307
1. Путь S, пройденный точкой по прямой за время T – t 0 со скоростью v = v (t) (v (t) непрерывна на [ t 0; T ]), есть 
.
2. Если переменная сила F = f (x) действует в направлении оси O x (f (x) – непрерывна на [ a; b ]), то работа этой силы на отрезке [ a; b ] оси О х равна 
.
3. Если функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a; b ], то 
геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), снизу – отрезком [ a; b ] оси О х, с боков – отрезками прямых x = a, x = b.
Пример 3.5.11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой 
и гиперболой 
.
○ Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для этого решим систему уравнений:
;
;
;
, 
; 
, 
.
Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках А(1; 0) и В(3; 4) (рис. 3.27). Следовательно,
4,58 (кв. ед.). ●
Замена переменной в определенном интеграле
Формула замены переменной в определенном интеграле:
,
где 
, α и β определяются из условий 
соответственно.
Пример 3.5.12. Вычислить 
.
○
●
Теорема 3.5.6. (Теорема о среднем) Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то в интервале (a; b) найдется такая точка с, что
|
|
|
.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть u = u (x), v = v (x) – непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a; b ] функции. Тогда
.
