Метод Н. С. Стрелецкого

Им впервые исследовались совместно вероятностные распре­деления нагрузки F и несущей способности Ф. Отсутствие отказов ха­рактеризуется тем, что усилия от нагрузок F не превышают несу­щую способность Ф, т. е.

Ф-F>0 и Ф/F>1 (23.1)

Пусть кривая распределения прочности характеризуется математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением -, а кривая распределения усилия от нагрузки — соответственно и . Эти кривые пересекаются в одной точке, соответствующей несущей способности Ф_о и усилию от нагрузки — F_o (рис. 23.1). Значения Ф_о ⁼ F _q зависят от общего коэффициента запаса и могут быть при­няты за расчетные. Для оценки безопасной работы конструкции Н. С. Стрелецкий ввел понятие «гарантия неразрушимости» и дал простой способ ее определения:

(23.2)

где Г — гарантия неразрушимости (вероятность безотказной работы);

— вероятность того, что прочность конструкции получит заниженные значения Ф < Ф₀;

— вероятность того, что нагрузка получит завышенное значение, т. е. F > F₀;

— вероятность одновременного появления этих событий (вероятность отказа).

В такой трактовке отказ происходит при одновременном по­явлении двух событий: снижения несущей способности ниже рас­четной и превышения нагрузками расчетной величины.

Вероятности и нетрудно вычислить, если известны за­коны распределения нагрузки и несущей способности. Они равны площадям криволинейных треугольников, заключенных между осью абсцисс и отрезками кривых в диапазоне от Ф_о до для распределе­ния несущей способности и от F₀ до + для распределения нагрузок:

. (23.3)

На практике для вычисления и используются таблицы интеграла вероятностей.

Однако гарантия неразрушимости служит примерной и за­вышенной оценкой вероятности безотказной работы, так как не учитывает все возможные сочетания нагрузок и несущей способности. Впоследствии была дана двусторонняя оценка для вероят­ности отказа Q=1-Г:

, (23.4)

если обе кривые распределения имеют по одному максимуму.

Рис. 23.1. К определению «гарантии неразрушимости»

Пример 23.1. Оценить вероятность отказа изгибаемой балки при сле­дующих исходных данных: = 280 кНм, = 20 кНм,

=180 кНм, F = 20 кНм. Пересечение двух распределений находится в точке Ф. = F₍₎ = 240 кНм; распределения Ф и F нормальные.

Вычисляем вероятности и , используя функции Лапласа:

;

Зная u_Ф и u_F по таблицам интеграла вероятностей находим, что .

Двусторонние оценки вероятности отказа

.

Итак, 0,00003<Q<0,02412

Двусторонние оценки для гарантии неразрушимости следующие: 0,97588<Г<0,99997.

Пример 23.2. Определить надежность железобетонного ригеля пе­рекрытия.

Исходные данные:

математическое ожидание несущей способности ригеля

= 220 кН∙м;

коэффициент вариации распределения несущей способности

V_Ф= 0,1;

математическое ожидание изгибающего момента от нагрузки.

= 130 кНм;

коэффициент вариации распределения изгибающего момента от нагрузки V_F =0,15;

характеристика безопасности = 3;

нормативное значение надежности Р_н=0,9987

Стандарты распределений:

для несущей способности = 0,1∙220 = 22 кН∙м;

для изгибающего момента от нагрузки F=V_F = 0,15∙130 = 19,5 кН∙м.

Характеристике безопасности = 3,06 соответствует надежность Р₁ = 0,99889, что выше нормативной Р_н = 0,9987. Надежность работы ригеля при действии нагрузок считается обеспеченной.

Пример 23.3. При изготовлении железобетонных ригелей перекрытий приняты меры по повышению качества изделия. Бетон стал более однородным, а коэффициент вариации несущей способности снизился до значения V_Ф^’ = 0,07. Определить надежность работы ригеля и наметить пути снижения расхода конструктивных материалов. Данные для расчета принимаются такими же, как в примере 23.2, кроме значения V_ф.

Стандарт распределения несущей способности

кНм.

Характеристику безопасности можно определить по формуле (22.6):

Характеристике безопасности = 3,62 соответствует надежность Р₂ = 0,999885,

Определим вероятность отказа для условий примеров 23.2 и 23.3:

при V_ф = 0,1 (пример 23.2) Q₁ = 1 – P₁ = 1 – 0,99889 = 0,00111;

при V_ф^, = 0,07 (пример 23.3) Q₂ = 1 – P₂ = 1 – 0,999885 = 0,000115;

Вероятность отказа в примере 2.3 уменьшилась в раза после принятия технологических мер по повышению качества конструкции, что повысило ее надежность, которая превышает нормативное значение. В резуль­тате улучшения технологии изготовления создались условия для уменьшения расхода материалов при сохранении нормативной надежности. С этой целью найдем значение средней несущей с заданной нормативной надежностью:

=F+

При несущей способности =204,54 кН∙м обеспечивается норма­тивная надежность, а расход материалов может быть снижен примерно на