Квадратичного отклонения

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратичное отклонение по исправленному среднему квадратичному отклонению . Для этого найдем доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр с надежностью . В сущности, задача повторяет предыдущий раздел, но сейчас мы немного изменим обозначения для упрощения записи результата. Выражение для доверительной вероятности имеет вид , где – абсолютная погрешность оценивания. Неравенство или равносильное ему неравенство преобразуем к виду . Обозначим и, поскольку абсолютную погрешность оценивания мы выбираем достаточно малой, можно считать, что . Перепишем неравенство в виде , домножим на , получим . Из предыдущего раздела известно, что случайная величина имеет распределение Пирсона с степенями свободы. Поэтому переменную можно выразить через значения критических точек и распределения Пирсона и записать эти значения в таблицу (в приложении значения параметра приведены в табл. 3, приложение). Вычислив по выборке значение и найдя по таблице , получим искомый доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения, покрывающий параметр с заданной надежностью : .

Замечание. В случаях, когда оценивается математическое ожидание при неизвестной дисперсии или дисперсия при неизвестном математическом ожидании, получающиеся при этом доверительные интервалы оказываются длиннее тех, что получены, когда, соответственно, дисперсия или математическое ожидание были известны. Это обстоятельство объясняется тем, что наличие дополнительной информации позволяет сузить пределы, в которые можно заключить оцениваемый параметр при заданной надежности.

Задача 4. В условиях задачи 3 найти доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения с надежностью .

Решение задачи 4. Для удобства вычислений и наглядности еще раз представим таблицу значений.

Частичные интервалы	(5;10)	(10;15)	(15;20)	(20;25)	(25;30)
Частоты
	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5

Объем выборки: = 20, среднее выборочное значение , выборочная дисперсия , исправленная дисперсия , исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение . Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения определяется неравенством . По заданной надежности = 0,95 и объему выборки = 20 найдем, с помощью табл. 3 (приложение), параметр : . Доверитель-ный интервал для среднего квадратичного откло-нения или . Таким образом, интервал покрывает параметр с надежностью = 0,95.