Отрыв пограничного слоя

 

Сопротивления при обтекании твердого тела (кроме пластины, ориентированной вдоль векторов скорости на­бегающего потока) жидкостью или газом определяются не только касательными напряжениями, возникающими на твердой границе, но и влиянием образующейся за телом области вихревого течения. Образование этой об­ласти связано с явлением отрыва пограничного слоя.

При обтекании тела с резко меняющимся профилем поверхности отрыв пограничного слоя является следст­вием проявления инерции жидких частиц в пределах пограничного слоя. Картина отрыва пограничного слоя в этом случае изображена на рис. 17.3.

При обтекании плав­ной криволинейной поверхности отрыв пограничного слоя связан с характером изменения давления вблизи твердой поверхности. Рассмотрим подробнее механизм этого явления (рис. 17.4).

На участке АВ скорость частиц жидкости, находя­щихся в пограничном слое, увеличивается , а на участке ВС уменьшается (ди/дх<0). Тогда в соот­ветствии с уравнением Бернулли давление на участке АВ уменьшается (др/дх<0), а на участке ВС увеличи­вается (др/дх>0).

При движении невязкой жидкости искривление ли­ний тока у твердой границы АС привело бы лишь к пе­рераспределению кинетической и потенциальной энергии любой жидкой частицы. В случае же движения вязкой жидкости часть кинетической энергии теряется за счет трения внутри пограничного слоя. Оставшейся части кинетической энергии может не хватить на преодоление действия положительного градиента давления, стремя­щегося изменить направление движения жидких частиц.

 

Рис. 17.3. Отрыв пограничного слоя на ломаной поверхности

 

Рис. 17.4. Отрыв по­граничного слоя на криволинейной по­верхности

 

В результате частицы жидкости могут начать движение в обратном направлении и привести тем самым к отры­ву потока от твердой границы. В точке отрыва (точка М) касательные напряжения на твердой поверхности обтекаемого тела равны нулю, так как в этой точке градиент скорости обращается в нуль .

За точкой отрыва пограничный слой трансформиру­ется в отрывное течение, характеризуемое сильной неус­тойчивостью образующихся крупномасштабных вихрей. Отдельные вихри, отрываясь от твердой поверхности, сносятся потоком, на их месте образуются новые вихри и т. д. Образование, взаимодействие и перемещение вих­рей за обтекаемым телом создают совершенно иную по структуре область течения, которую часто называют гидродинамическим (или аэродинамическим) следом Основной поток, разделенный гидродинамическим сле­дом на две (в условиях плоской задачи) части, восста­навливает свою структуру лишь на некотором расстоя­нии от обтекаемого тела. При этом протяженность сле­да зависит главным образом от формы тела и от числа Рейнольдса .

Область отрывного течения, несмотря на совершенно иную структуру, не изолирована от основного (невозму­щенного) потока. Турбулентное перемешивание, знако­переменный градиент давления, изменение направления течения внутри этой области создают условия для не­прерывного взаимодействия между отрывным течением и основным потоком. Однако вследствие замкнутости осредненных во времени линий тока в пределах рассмат­риваемой области массобмен между ней и невозмущен­ным потоком невелик, что необходимо учитывать при расчете и проектировании аэрации жилых кварталов, зданий и промышленных сооружений.

Рассмотрим простой случай образования отрывного течения за отдельно стоящим зданием с двускатной кры­шей.Испытания моделитакого здания (рис. 17.6) показали, что в зависимости от изменения скорости не­возмущенного потока картина обтекания существенно меняется. При относительно малых скоростях траекто­рии частиц обтекающего модель воздушного потока по существу повторяют конфигурацию здания (рис. 17.6,а). С увеличением скорости сразу же за точкой отрыва (точка А) образуется небольшой вихрь (рис. 17.6,6), который быстро увеличивается при дальнейшем повышении скорости (рис. 17.6, в) до тех пор, пока не распадется на отдельные нерегулярные вихри. С течением времени картина обтекания модели становится статистически установившейся; при этом форма и раз­меры области отрывного течения оказываются практи­чески постоянными (рис. 17.6,г ).

 

Рис. 17.6. Стадии обтекания модели зда­ния воздушным потоком

 

Таким образом, при достаточно большой скорости поток, обтекающий твердое тело с резко меняющимся профилем, можно условно разделить на две статистиче­ски устойчивые области течения (рис. 17.7).

 

Рис. 17.7. Течение воздушного потока при обтекании одиночного зда­ния

 

Границей между ними можно назначить линию тока а-а, прохо­дящую через точку отрыва А. Ниже линии а-а распо­лагается область отрывного течения - область ABCD. Внутри этой области осредненные во времени линии то­ка представляют собой замкнутые кривые; движение в целом носит циркуляционный характер. В верхней части области отрывного течения направление векторов скоро­сти совпадает с направлением движения невозмущенно­го потока, в нижней ее части жидкость или газ переме­щается в обратном направлении. Выше линии тока а-а располагается невозмущенный поток, который можно считать безвихревым, или потенциальным. Так как и потенциальном потоке перенос количества движения по­перек линий отсутствует, то любую линию тока можно условно заменить твердой границей. Напом­ним, что и в том и другом случае частная производная скорости по нормали к линии тока равна нулю, т. е. ди/дп=0. Предполагая, что твердая граница совпадает с линией тока а-а, получим картину обтекания потен­циальным потоком твердого тела ABCD.

В теоретической гидромеханике доказывается, что при сложении плоскопараллельного потенциального по­тока, источника и двух стоков линии тока результирующего движения качественно совпадают с линиями тока рассмотренного выше реального случая обтекания твер­дого тела. Однако такое решение дает практические результаты лишь первого приближения в условиях пло­ской задачи. В действительности же вследствие большо­го многообразия форм обтекаемого тела, а также постоянно меняющихся направления и значения скоро­сти набегающего потока решение задачи приходится искать на базе результатов опытов на моделях. В различных источниках приводятся некоторые данные, необходимые при расчете обтекания одиночного здания с плоской крышей воздушным потоком. Так, максимальная высота области отрывного течения составляет , макси­мальная длина этой области (отрезок DC) приблизи­тельно 8 h, расстояние от точки А до точки В примерно 2,5 h.

При обтекании потоком здания сложного планового очертания или группы зданий задача может быть реше­на путем экспериментальных исследований в каждом конкретном случае.

 

Распределение давления по поверхности обтекаемого тела. Сопротивление давления

 

Распределение давления вокруг обтекаемого твердо­го тела неразрывно связано с законом изменения скоро­сти набегающего потока вблизи тела. Рассмотрим прос­той случай обтекания бесконечно длинного кругового цилиндра потенциальным потоком. При обтекании кругового цилиндра бесконечно боль­шой длины потенциальным потоком картина течения у цилиндра симметрична (рис. 17.8).

Известно (см. 17.1.3), что на участках АВ и AD дви­жение ускоренное, на участках ВС и DC замедленное, в критических точках на поверхности цилиндра А и С скорость равна нулю, в точках В и D - удвоенной ско­рости невозмущенного потока. Поэтому в критичес­ких точках давление принимает максимальное значение, а в точках В и D - минимальное. Вследствие симметрии рассматриваемой задачи давление в сходственных точ­ках (например, в точках 1 и 1 ', 2 и 2' и т. п.) одинако­вое.

Аналогичная картина течения получается при обтекании цилиндра потоком невязкой жидкости.

 

Рис. 17.8. Обтекание цилиндра невязкой жидкостью

 

Следовательно, силы давления на лобовую и кор­мовую поверхности цилиндра будут равными, но проти­воположно направленными. Их равнодействующая рав­на нулю, а значит, и сопротивление цилиндра должно равняться нулю. Этот вывод, который противоречит дан­ным опыта, в гидромеханике известен под названием па­радокса Эйлера - Даламбера.

На рис. 17.9 приведена схема распределения давления по поверхности кругового цилиндра, обтекаемого потенциальным потоком или по­током невязкой жидкости.

 

Рис. 17.9. Распределение дав­ления при обтекании цилиндра невязкой жидкостью

 

На схеме область давления, большего давления невозмущенного потока, отмечена знаком плюс и стрелками, направленными к поверхности цилиндра; область меньшего, чем в набегающем потоке, давления - знаком минус и стрелками, направленными от поверхности цилиндра.

При обтекании цилиндра потоком вязкой жидкости вследствие отрыва пограничного слоя и образования отрывного течения давление в лобовой части цилиндра всегда оказывается больше давления в его кормовой части (рис. 17.10 5.18). Равнодействующая этих сил давления, отличная от нуля, и определяет собой сопротивление давления. В пределах гидродинамического следа давле­ние остается практически постоянным и равным давле­нию у твердой поверхности в точке отрыва пограничного слоя, давление же у лобовой поверхности практически не отличается от давления при взаимодействии цилинд­ра с невязкой жидкостью.

 

Рис. 17.10. Распределение давления при обтекании цилиндра вязкой жидкостью

 

При увеличении числа Re, вычисленного по скорости набегающего потока, равнодействующая сил давления в лобовой и кормовой частях цилиндра увеличивается, что связано со смещением точки отрыва пограничного слоя ближе к кормовой области. Смещение точки отры­ва объясняется переходом ламинарного пограничного слоя в турбулентный при возрастании числа Рейнольдса. В результате частицы жидкости, находящиеся вблизи твердой границы, приобретают дополнительную кинети­ческую энергию от невозмущенного потока, которая по­могает им дольше противостоять положительному гра­диенту давления (рис. 17.10).

На практике при сравнении распределения давления на поверхности обтекаемых тел разных размеров часто используется относительное давление или коэффициент давления

(17.15)

где - избыточное давление в произвольной точке на поверхности обтекаемого тела; - динамическое давление невозмущенного потока.

Если в качестве избыточного принимается маномет­рическое давление , коэффициент давления называют аэродинамическим коэффициентом

(17.16)

Аэродинамический коэффициент используется для расчета распределения давления ветра по поверхности зданий и сооружений.

Рассмотрим схему распределения аэродинамических коэффициентов по контуру одиночного здания с двускат­ной крышей (рис. 17.11).

 

Рис. 17.11. Распределение аэ­родинамических коэффици­ентов при обтекании одиноч­ного здания

 

Построение эпюры распределе­ния аэродинамических коэффициентов производится по известным правилам построения эпюры нагрузки на любой элемент сооружения: положительные значения откладываются внутри контура здания, отрицательные - вне контура здания. Отметим, что аэродинамический коэффи­циент приобретает положительное значение при полном давлении, большем атмосферного давления, отрицательное - при разрежении.

Так как форма современных зданий и сооружений весьма далека от удобообтекаемой, можно принимать, что независимо от числа Рейнольдса аэродинамический коэффициент является функцией только формы здания и его расположения по отношению к направлению набе­гающего невозмущенного потока.

Обычно значение аэродинамического коэффициента и его распределение определяются по результатам экс­периментальных испытаний, проводимых либо в гидрав­лических лотках, либо в аэродинамических трубах.

При фронтальном обтекании одиночного здания (рис. 17.11) аэродинамический коэффициент принимает значения: на наветренной (лобовой) грани К_В =0,5-0,8, на завет­ренной (кормовой) грани К_В= -(0,2-0,3). Необходимо сказать, что при фронтальном обтекании здания навет­ренная сторона испытывает повышенное давление (К_В> 0), а стороны, находящиеся в области отрывных течений, - разрежение К_В < 0. Разрежение может вы­звать равнодействующие силы давления, значительно большие, чем положительные, - это особенно опасно, так как конструктивные элементы рассчитаны на точно такие же усилия, но противоположные по знаку.

При расчете высоких зданий и сооружений следует учитывать распределение скоростей набегающего потока по вертикали. В первом приближении это распределе­ние оценивается с помощью, например, уравнения Г. Шлихтинга

,

где и - скорость на произвольном расстоянии h от поверхности земли; - скорость на достаточно большом расстоянии , где она становится практически постоянной.

Неравномерность распределения давлений по поверх­ности обтекаемого тела, разность давлений в его лобо­вой и кормовой частях в ряде случаев являются основ­ными факторами, определяющими сопротивление, назы­ваемое сопротивлением давления. Обычно это случаи обтекания потоком жидкости или газа тонких профилей, расположенных поперек набегающего потока.

Рассмотрим обтекание плоского круглого диска (рис. 17.12) потоком вязкой жидкости (толщина диска существенно меньше его диаметра d).

 

Рис. 17.12. Обтекание диска потоком вязкой жидкости

 

Очевидно, в рассматри­ваемом случае силами трения следует пренебречь, так как длина участка возможного формирования погранич­ного слоя δ ничтожна по условию. Поэтому сила сопро­тивления будет определяться только разностью давления перед диском и в области отрывного течения за ним. Расчетная формула для силы сопротивления давления имеет вид

(17.18)

где - коэффициент сопротивления давления; - площадь сече­ния обтекаемого тела по миделю (площадь проекции тела на плос­кость, перпендикулярную векторам скорости набегающего потока); - плотность жидкости или газа; - скорость невозмущенного потока.

Коэффициент , зависит от числа Рейнольдса и от формы обтекаемого тела. При больших числах Рейнольдса, т. е. в случае отсутствия влияния вязкости, коэффициент сопротивления давления зависит только от формы тела (табл. 17.1).

При определении силы давления ветра на одиночное здание или на его отдельные элементы достаточно знать закон распределения аэродинамических коэффициентов и соответствующие площади граней, воспринимающих повышенное давление или разрежение.

В этом случае можно составить очевидное расчетное соотношение. Из выражения (17.16) следует, что манометрическое давле­ние в произвольной точке на поверхности здания

(17.19)

Сила давления

(17.20)

где dS - площадь элементарной поверхности здания или его от­дельного элемента, в пределах которой аэродинамический коэффи­циент можно считать постоянным.

После подстановки уравнения (17.19) в формулу (17.20) получим

(17.21)

Уравнение (17.21) решается для каждого конкретного случая.

 

Таблица 17.1

Значения коэффициента сопротивления давления для некоторых тел с острой кромкой

Форма обтекаемого тела
Диск	1,11
Прямоугольная пластина с отношением a/b:
	1,10
	1,15
	1,19
	1,29
∞	2,01
Круговой цилиндр при обтекании в направлении его оси при l/d:
	0,91
	0,85
	0,87
	0,99

Суммарное сопротивление при обтекании твердого тела

 

В общем случае сопротивление при обтекании твер­дого тела потоком жидкости или при движении твердо­го тела в жидкости представляет собой сумму сопротив­ления трения и сопротивления давления (сопротивления формы). Неравномерность распределения давления по поверхности тела, неустановившийся характер движения в области отрывного течения сильно ограничивают круг задач, поддающихся аналитическому решению.

Суммарное, или полное, сопротивление (часто его называют лобовым сопротивлением) обычно определя­ется по формуле, структура которой была предложена еще Ньютоном

(17.22)

где - коэффициент лобового сопротивления.

Коэффициент лобового сопротивления зависит от формы обтекаемого тела, числа Рейнольдса и в несколько меньшей мере от степени турбулентности невозмущённого потока.

Формула (17.22) может быть получена на основе теории размерно­стей.

Рассмотрим случай обтекания твердого шара пото­ком вязкой жидкости, когда основным фактором, определяющим сопротивление, являются силы трения. В результате решения уравнений Навье - Стокса без учета инерционных членов можно получить аналитическое решение для силы сопротивления, так называемое решение Стокса

(17.23)

где d - диаметр шара; - динамическая вязкость жидкости.

Разделив и умножив правую часть выражения (17.23) на , получим

Так как - площадь сечения шара по миделю, a , можно записать

(17.24)

(17.25)

Формула (17.25), так же как и формула (17.23), хоро­шо подтверждается опытом только для малых чисел Рейнольдса (Re l).

С увеличением числа Рейнольдса роль сил трения начинает быстро уменьшаться, что связано с развитием ламинарного пограничного слоя. Если при Re l влия­нием сил инерции можно было пренебрегать во всей области течения, как перед обтекаемым шаром, так и за ним, то при числах Re, уже немногим больших единицы, силы инерции в кормовой области не столь малы, чтобы ими можно было пренебречь. Некоторое уточнение ре­шения Стокса в этом смысле было выполнено Озееном

(17.26)

Формула (17.26) пригодна до чисел Re 5.

Опытные данные, полученные различными авторами в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса для различных условий движения шаров в жидкости, позволили получить универсальную экспериментальную зави­симость

Характер этой зависимости, представленной в логарифмических координатах на рис. 17.13, определяется следующими соображениями.

Ранее указывалось, что суммарное, или лобовое, со­противление определяется суммой сопротивления трения и сопротивления давления. Первое из них обусловлено трением на твердой границе и в пределах пограничного слоя, второе - наличием отрывных течений и разностью давления в лобовой и кормовой частях твердого тела.

Изменение числа Рейнольдса, естественно, влечет за собой изменение соотношения между действующими на тело силами трения, инерции и давления; причем увели­чение Re приводит к уменьшению влияния сил трения и повышению влияния сил инерции и давления.

 

Рис. 17.13. Зависимость коэффициента лобо­вого сопротивления от числа Рейнольдса

 

Кроме того, при изменении числа Re меняется поло­жение точки отрыва пограничного слоя и его структура. До тех пор пока пограничный слой остается ламинар­ным (10<Re<10³), точка отрыва находится в лобовой части сферы (рис. 17.14,а).

В диапазоне изменения чис­ла Рейнольдса приблизительно 10³<Re<10⁵ ламинар­ный пограничный слой постепенно переходит в турбу­лентный и точка отрыва смещается в кормовую область сферы (рис. 17.14,6). В этом диапазоне чисел Re сопро­тивление (по сравнению с законом Стокса) увеличивает­ся за счет возрастающего действия разности давления перед шаром и за ним. Интенсивность увеличения сопро­тивления давления возрастает, кривая зависимости приближается к горизонтали.

 

Рис. 17.14. Изменение положения точки отры­ва пограничного слоя на сфере при различ­ных числах Рейнольд

 

Полный переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный проис­ходит резко при числах . В этом случае угол между симметричными точками отрыва принимает минимальное значение 110-120° и величина области от­рывного течения также становится наименьшей (рис. 17.14,в). Сопротивление при этом резко уменьшается; такое явление называют кризисом сопротивления.

Зависимости, которые аналогичны рассмотренной, получены экспериментально для кругового цилиндра, круглого Диска и ряда других твердых тел.

Для твердых тел с резко меняющимся профилем (к ним можно отнести диски и пластины, расположен­ные поперек потока, кубы, некоторые профили зданий и т. п.) коэффициент лобового сопротивления практически не зависит от числа Рейнольдса.