Закон сохранения момента импульса

Момент импульса.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия: .

Аналогом импульса является момент импульса. Понятие момента импульса также можно ввести относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О равен векторному произведению радиуса-вектора , проведенного из полюса О к данной материальной точке, на ее импульс :

Моментом импульса относительно неподвижной оси называется проекция вектора на эту ось.

Если материальная точка вращается вокруг неподвижной оси, то её момент импульса относительно этой оси по модулю равен

где m_i - масса материальной точки, u _i - её линейная скорость r_i - расстояние до оси вращения.

Т.к. для вращательного движения ,

где - момент инерции материальной точки относительно оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси равен сумме моментов импульсов всех его точек относительно этой оси:

, (1)

где - момент инерции тела.

Т.о., момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость и сонаправлен с вектором угловой скорости (рис.1).

Продифференцируем уравнение (1) по времени:

или . (2)

Уравнение (2) - ещё одна форма основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равна моменту внешних сил относительно той же оси.

Закон сохранения момента импульса.

Рассмотрим систему, состоящую их N тел, которые можно рассматривать как материальные точки.

В общем случае на каждое тело действуют как внешние, так и внутренние силы системы:

(3)

Т.к. внутренние силы всегда попарно равны, противоположны по направлению и лежат вдоль одной прямой (рис. 2, ось О перпендикулярна плоскости чертежа), их плечи одинаковы независимо от расположения оси вращения О, моменты этих сил относительно одной и той же оси так же всегда попарно равны и противоположны по направлению, поэтому .

где = - суммарный момент импульса всех тел системы (момент импульса системы).

Выражение (3) принимает вид:

т.е. производная момента импульса системы материальных точек относительно какой-либо неподвижной оси равна суммарному моменту внешних сил относительно той же оси.

В частности, если для какой-то оси .

Это уравнение выражает закон сохранения момента импульса системы материальных точек: момент импульса системы относительно какой-либо неподвижной оси остается постоянным, если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.

Если система замкнута, , момент импульса замкнутой системы есть величина постоянная.

Если момент импульса сохраняется, то сохраняется и положение оси вращения тела, поэтому вращающееся тело при отсутствии внешних моментов устойчивее неподвижного. Это учитывается при изготовлении нарезного оружия, поскольку оно дает лучшую прицельность, чем гладкоствольное. Выпущенный из нарезного орудия снаряд вращается вокруг своей продольной оси и поэтому его полет является устойчивым.

Закон сохранения момента импульса был впервые сформулирован в 1746 г отечественным ученым Л.Эйлером.

Гироскоп.

Гироскопом называют симметричное массивное однородное тело, способное вращаться вокруг своей оси симметрии с большой угловой скоростью.

Вращающийся гироскоп обладает рядом свойств.

1. Если гироскоп закреплен так, что на него не действуют моменты внешних сил, то он называется свободным. Такой гироскоп обладает важным свойством сохранять неизменным направление момента импульса . Ось уравновешенного гироскопа с 3-мя степенями свободы стремится сохранить в мировом пространстве свое первоначальное положение (следствие из закона сохранения момента импульса):

т.к. .

Это свойство позволяет использовать гироскоп как указатель фиксированного направления в пространстве. Массивные гироскопы применяются в качестве стабилизаторов прямого действия (например, стабилизатор качки судов). Легкие гироскопы используются в качестве стабилизаторов непрямого действия; они выполняют роль чувствительного элемента, передающего сигналы двигателям привода соответствующих рулей. Гироскопы широко используются и в навигационных приборах (гирокомпасы, гирогоризонты, указатели поворотов и т.п., их достоинство - они не зависят от магнитных полей); для ориентации в космическом пространстве космических кораблей, для поддержания заданного направления движения транспортных средств (судно – авторулевой, самолет – автопилот и т.п.).

2. Гироскопический эффект обнаруживается, когда на ось гироскопа действует сила или пара сил, создающая вращающий эту ось момент сил (рис. 3).

Т.к. , т.е. направления совпадают.

За время dt момент импульса гироскопа получит приращение , тогда

Направление вектора совпадает с новым направлением оси вращения.

Гироскопический эффект - свойство вращающегося гироскопа поворачиваться под действием сил вокруг оси О₃О₃, перпендикулярной той оси О₂О₂, вокруг которой он повернулся бы в отсутствии вращения.

Если время действия силы dt мало, - тоже мало, поэтому кратковременное действие сил не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве, для этого необходимо длительное воздействие силы.

Гироскопический эффект используется в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпасах, гирогоризонтах). Гирокомпасы в отличие от компасов с магнитной стрелкой не реагирует на наличие ферромагнитных предметов и на его показания не нужно вносить поправки на магнитное склонение, т.е. угол между магнитным и географическим меридианами.

Гирокомпас представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Под влиянием суточного вращения Земли ось гирокомпаса устанавливается в такое положение, при котором угол между этой осью и осью вращения Земли минимален, т.е. указывает на север.

3. Прецессия гироскопа - непрерывный поворот оси гироскопа вокруг некоторой оси под действием постоянного момента сил. Прецессия - движение оси вращения по круговому конусу (рис. 4).

4. Нутация гироскопа становится заметной при уменьшении его угловой скорости. При этом ось прецессирует не по окружности, а описывает сложную циклоидную кривую (рис. 5).