Критерий Михайлова (1938 г.)

В 1938 г. Ленинградский ученый Михайлов обобщил критерий Найквиста и развил примен6ительно к устойчивости АСУ, в котором доказал математически и показал на примере применимость критерий Найквиста к любым замкнутым АСУ при анализе их в разомкнутом состоянии.

Чтобы определить устойчивость АСУ по критерию Михайлова (и Гурвица), необходимо найти характеристическое уравнение для замкнутой АСУ.

Для замкнутой системы передаточная функция будет иметь вид:

Например .

Тогда, при W(p)_ос = -1:

- преобразуя это выражение получим:

где знаменатель (а₄р⁴+а₃р³+а₂р²+а₁р+а₀) есть характеристическое уравнение для замкнутой АСУ, т.е.

а₄р⁴+а₃р³+а₂р²+а₁р+а₀ = 0.

В характеристическом уравнении для замкнутой АСУ вместо оператора (р) подставим значение (jω) и получим:

М(jω) = а₄(jω)⁴ + а₃(jω)³ + а₂(jω)² + а₁jω + а₀ = а₄ω⁴ – а₃jω³ – а₂ω² + а₁jω + а₀ =

= (а₄ω⁴ – а₂ω² + а₀) + j (а₁ω – а₃ω³),

где h(ω) = а₄ω⁴ – а₂ω² + а₀ – вещественная часть.

g(ω) = а₁ω –а₃ω³ – мнимая часть.

Задавая различные значения ω = 0 …∞, находим координаты вещественных и мнимых частей, и строим годограф характеристической функции.

ω
hω
gω

а – неуст.

б - устойч.

АСУ будет устойчивой, если годограф характеристического уравнения обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) «n» квадратов комплексной плоскости (где «n» - высшая степень характеристического уравнения) и ни где не обращается в нуль «0».

Лекция 14