Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число an, то говорят, что задана числовая последовательность { an }:
a 1, a 2, …, an, ….
Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: an = f (n).
Числа a 1, a 2, …, an называются членами последовательности, а число an – общим членом или n -м членом данной последовательности
Пример числовой последовательности: 2,4,6,8……2n.
Бесконечная числовая последовательность – числовая функция, определенная на множестве N натуральных чисел.
Последовательность { an } называется убывающей (возрастающей), если каждый ее член, начиная со второго больше (меньше предыдущего), т.е. an +1> an (an +1< an).
Последовательность ограничена сверху, если $ М: an £ М
Последовательность ограничена сверху, если $ m: an ³ m
Последовательность ограничена $ М, m: m £ an £ М,
M, m – верхняя и нижняя границы последовательности.
Определение. Число A называется пределом числовой последовательности аn, если для сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такой номер N (зависящий от ε, N = N (ε)), что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство:
|
|
Предел числовой последовательности обозначается или аn→A при n→∞. Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Определение предела запишем на математическом языке, используя квантор общности (Ɐ) и квантор существования ()