2017-12-14
1549
Пример Требуется исследовать процесс получения резистивных пленок рения с целью его оптимизации. В качестве критерия оптимизации берется температурный коэффициент сопротивления (ТКС). Задача исследования – определить условия получения резистивных пленок с минимальным ТКС.
Решение Из анализа технологического процесса и результатов предварительных опытов установлено, что на ТКС пленок рения оказывают влияние следующие факторы:
– температура испарения рения – фактор X1;
– температура подложки, на которую производится осаждение рения – фактор X2;
– температура термообработки изготовленных резистивных пленок рения – фактор X3.
C учетом предварительных опытов выбираем:
– центр плана X10=25000C; X20=4000C; X30=4000C;
– шаг варьирования по всем трем факторам Δ X1=ΔX2=ΔX3=500C.
– абсолютные значения верхнего уровня факторов, учитываемых в данном эксперименте (xi=+1): X10=25500C; X20=4500C; X30=4500C;
– абсолютные значения нижнего уровня факторов, учитываемых в данном эксперименте (xi=-1): X10=24500C; X20=3500C; X30=3500C.
|
|
|
Первоначально предположим, что искомая модель исследуемого процесса является линейной и может быть представлена полиномом 1-го порядка вида (6.3). В этом случае достаточно варьирования каждого из трех факторов (k=3) на двух уровнях и минимальное число опытов N=23=8.
С целью ускорения проводимого эксперимента, принимаем решение о проведении двух параллельных опытов (n=2) для одних и тех же условий, представленных в каждой строке (значения верхнего и нижнего уровней факторов), соответствующих номеру опыта, указанному в первом столбце матрицы. С учетом проведения параллельных опытов, их число увеличивается до N′=N·n и в данном случае составит 16.
План эксперимента представим в виде таблицы 6.3, основные отличия которой от таблицы 6.2:
– во 2-м столбце матрицы указан порядок проведения опытов, который определен с помощью таблицы случайных чисел (таблица А4 приложения А) для рандомизации неконтролируемых параметров исследуемого процесса;
– все экспериментально полученные значения функции отклика первого и повторного опытов заносятся в столбцы 11, 12;
– их средние значения подсчитываются по (6.7) и заносятся в 13-й столбец;
– в 14-й столбец вносятся значения выборочных дисперсий экспериментальных значений функции отклика Yxi около их среднего значения 
, которые определяются по следующей формуле
где n – количество значенийYxi, полученных в результате проведения n параллельных опытов; x=1, N.
Таблица 6.3 – Матрица планирования и результаты экспериментов при исследовании резистивных пленок рения
| Номер опыта | Порядок проведения опыта | X0б | X1б | X2б | X3б | X1бX2б | X1бX3б | X2бX3б | X1бX2бX3б | Yx1 | Yx2 |
| Sx2 | |
| + | – | – | – | + | + | + | – | 2,4 | 2,8 | 2,6 | 0,08 | |||
| + | + | – | – | – | – | + | + | 2,4 | 2,2 | 2,3 | 0,02 | |||
| + | – | + | – | – | + | – | + | 2,0 | 2,4 | 2,2 | 0,08 | |||
| + | + | + | – | + | – | – | – | 2,2 | 2,4 | 2,3 | 0,02 | |||
| + | – | – | + | + | – | – | + | 2,2 | 2,2 | 2,2 | ||||
| + | + | – | + | – | + | – | – | 2,1 | 1,7 | 1,9 | 0,08 | |||
| + | – | + | + | – | – | + | – | 2,1 | 1,9 | 2,0 | 0,02 | |||
| + | + | + | + | + | + | + | + | 1,7 | 1,7 | 1,7 |
Порядок обработки и анализа результатов эксперимента следующий:
|
|
|
1. Дисперсии опытных значений функции отклика (ТКС резистивных пленок рения) около их средних значений в каждой строке матрицы рассчитаны по формуле (6.8) и приведены в 14-м столбце таблицы 6.3. Наибольшее ее значение (0,08) соответствует условиям проведения эксперимента, установленным 1-, 3- и 6-м номерами опыта.
2. Для проверки воспроизводимости эксперимента подсчитаем по формуле (6.9) значение критерия Кохрена
.
Критичное его значение, для β=0,10 при n=2 (определяет Gкр по столбцу) и N=8 (по строке), равно Gкр=0,57 (таблица А3 приложения А).
G<Gкр, следовательно эксперимент воспроизводим.
3. По (6.11)подсчитываем значение каждого коэффициента предполагаемой имитационной модели в виде полинома (6.3), на основании которой был спланирован и проведен эксперимент
После вычисления коэффициентов предполагаемой модели исследуемого процесса, оцениваем их значимость с помощью критерия Стьюдента, предварительно рассчитав значение t-параметра по формуле (6.11) для каждого коэффициента и соответствующей ему дисперсии ошибки определения этого коэффициента. Учитывая ортогональность матрицы планирования ПФЭ, приведенной в таблице 6.3, дисперсия ошибок каждого из коэффициентов будет одной и той же, определяемой по (6.13). Для вычисления дисперсии ошибки, предварительно нужно определить дисперсию воспроизводимости эксперимента (среднее значение всех оставшихся после проверки на воспроизводимость эксперимента дисперсий функции отклика в параллельных опытах – 14-й столбец таблицы 6.3) по формуле (6.14):
Тогда дисперсия ошибок определения коэффициентов полинома будет равна:
.
Теперь по формуле (6.11) подсчитываем t- параметр для каждого коэффициента полинома:
Определим критичное значение t-параметра по таблице А1 приложения А для ν=N(n–1)=8 и β=0,10; tкр=1,86.
Из сравнения найденного значения tкр с соответствующими значениями t- параметров, можно утверждать с уверенностью в нашей правоте в 9 случаях из 10, что коэффициенты b12, b13, b23 и b123 являются незначимыми. В этом случае эффектом взаимодействия учитываемых в эксперименте факторов можно пренебречь и уточненная имитационная модель, описывающая исследуемый процесс, примет вид
Y=2,15 – 0,1X1 – 0,1X2 – 0,2X3. (6.16)
Анализируя данную математическую модель можно сделать вывод, что самое большое влияние на функцию отклика оказывает третий фактор (температура термообработки готовых резистивных пленок рения), в то время, как влияние двух других факторов в два раза меньше.
4. После уточнения имитационной модели необходимо проверить ее на адекватность исследуемому процессу. Учитывая, что аппроксимирующий полином (6.16) содержит четыре члена (d=4), дисперсия адекватности, в соответствии с (6.14), будет иметь следующий вид:
Но для расчета дисперсии адекватности первоначально необходимо определить теоретические значения функции отклика Yxt для каждого условия проведения опыта, соответствующего конкретному его номеру(x). Теоретические значения функции отклика определяются из полученной в результате эксперимента математической модели (6.16) подстановкой безразмерных значений соответствующих факторов Xi для каждого номера опыта.
Так, для условий эксперимента, соответствующих первому опыту, как видно из таблицы 6.3, значения факторов будут:
|
|
|
X1 = -1; X2 = -1; X3 = -1.
Тогда теоретическое значение функции отклика для этих условий проведения опыта в соответствии с (6.16) будет равно
Y1t =2,15 + 0,1 + 0,1 + 0,2=2,55.
Аналогично для последующих номеров опытов получаем следующие значения:
Y2t =2,15 – 0,1 + 0,1 + 0,2=2,35;
Y3t =2,15 + 0,1 – 0,1 + 0,2=2,35;
Y4t =2,15 – 0,1 – 0,1 + 0,2=2,15;
Y5t =2,15 + 0,1 + 0,1 – 0,2=2,15;
Y6t =2,15 – 0,1 + 0,1 – 0,2=1,95;
Y7t =2,15 + 0,1 – 0,1 – 0,2=1,95;
Y8t =2,15 – 0,1 – 0,1 – 0,2=1,75.
Сравнивая теоретические значения Yxt функции отклика с ее экспериментальными средними значениями, приведенными в 13-м столбце таблицы 6.3, можно подсчитать дисперсию адекватности
Таким образом, дисперсия адекватности 
меньше дисперсии воспроизводимости эксперимента S2{Y}, следовательно, математическая модель (6.16) адекватна исследуемому процессу и может быть использована для его оптимизации путем шагового движения к экстремуму. Если бы >S2{Y}, то следовало бы воспользоваться F- критерием.
Задачи для решения
Приведены результаты проведения полного факторного эксперимента. Провести обработку и анализ результатов ПФЭ по рассмотренной методике.
Вариант 1
| Вариант 2
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 3
| Вариант 4
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 5
|
Вариант 6
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 7
|
Вариант 8
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 9
|
Вариант 10
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 11
|
Вариант 12
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 13
|
Вариант 14
|
Контрольные вопросы
1. Что называется полным факторным экспериментами?
2. Как выбираются факторы планирования, их основные (базовые) уровни и интервалы варьирования?
3. Указать порядок проведения эксперимента методом ПФЭ.
4. Как составляется матрица планирования ПФЭ?
5. Как выбрать центр плана эксперимента?
6. Чем определяется величина интервала варьирования фактора?
7. Почему необходимо проведение параллельных опытов и их рандомизация?
8. Как зависит число уровней варьируемых факторов от порядка имитационной модели, представленной в виде полинома?
9. В чем заключается смысл разработки математической модели по принципу «от простого – к сложному»?
10. Каков порядок статистической обработки и анализа результатов эксперимента?
11. При каких условиях не соблюдается требование воспроизводимости эксперимента и как следует поступить в этом случае?
12. Как проверить значимость оценок коэффициентов регрессии?
13. Поясните различие применения критерия Стьюдента для оценки выборочных средних значений случайной величины и оценки значимости коэффициента полинома.
14. При каких условиях оценки коэффициентов регрессии незначимы и как эти условия устранить?
15. Как проверить адекватность математической модели?
16. При каких условиях не соблюдается требование адекватности математической модели и как следует поступить в этом случае?
