Задачи на работу и производительность труда

Основными формулами при описании задач на движение были формулы, выражающие зависимость скорости, времени и пути при равномерном движении. На аналогичных соотношениях основаны математические модели задач на работу и производительность труда, перекачивание жидкостей и т.д. Например, если x – производительность труда, А – объем работы, произведенной за время t, то А=xt.

При этом иногда принимаются следующие соглашения:

в задачах на работу принимают общий объем работы за единицу,

в задачах на перекачивание жидкостей полагают, что наполнение или опустошение емкостей происходит равномерно с постоянной скоростью.

Пример№1. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?

Решение. Пусть завод должен был выпускать х машин в день, тогда заказ составляет 20х машин.

На самом деле завод выпускал (х + 2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(х + 2) машин.

По условию задачи

20х = 18(х + 2),

откуда х = 18. Таким образом, завод выпустил 360 машин.

Ответ: 360.

Пример № 2. Для прокладки траншеи выделено два экскаватора разных типов. Время, необходимое первому экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи, на 3 часа меньше времени, необходимого второму экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи.

Сумма этих времен в раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи присовместной работе двух экскаваторов. Определить, сколько времени необходимо каждому экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи.

Решение: Примем длину траншеи за 1, производительность (т.е. количество проложенных за 1 час метров траншеи) первого экскаватора обозначим через x, а второго через y. Тогда приходим к системе уравнений:

Условия задачи	Уравнения
Время, необходимое первому экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи, на 3 часа меньше времени, необходимого второму экскаватору для самостоятельной прокладки траншеи
Сумма этих времен в раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи при совместной работе двух экскаваторов

Обозначим через t отношение Тогда, как видно из первого уравнения, ,т.е. , следовательно, из второго уравнения получаем:

Подставляя теперь это соотношение в первое уравнение системы, после простейших преобразований находим

часов, а часов.

Ответ: 7 ч 30 мин; 10 ч 30 мин.

Пример № 3. Токарь и его ученик получили наряд на изготовление деталей. По нему ученик должен изготовить 35 деталей, а токарь 90 деталей. Токарь и ученик начали работу одновременно. Сначала токарь сделал 30 деталей, обрабатывая в час вдвое больше ученика. Затем он перешел на максимальную скорость обработки и стал обрабатывать в час ещё на 2 детали больше и закончил свою работу на 1 час позже ученика. Если бы токарь и первые 30 деталей обрабатывал с максимальной скоростью, то закончил бы работу на 30 мин позже ученика. Сколько деталей в час обрабатывал ученик?

Решение: Пусть (д/ч) – производительность ученика;

2 (д/ч) – первоначальная производительность токаря;

(2+2) (д/ч) – максимальная производительность токаря.

Согласно условию задачи имеем:

Условия задачи	Уравнения
Токарь и ученик начали работу одновременно. Сначала токарь сделал 30 деталей, обрабатывая в час вдвое больше ученика. Затем он перешел на максимальную скорость обработки и стал обрабатывать в час ещё на 2 детали больше и закончил свою работу на 1 час позже ученика
Если бы токарь и первые 30 деталей обрабатывал с максимальной скоростью, то закончил бы работу на 30 мин. позже ученика