Буренков С. И., Сидоров И. М.
Б 91 Численные методы анализа: курс лекций / С. И. Буренков, И. М. Сидоров. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2008. – 87 с.
В работе излагаются теоретические аспекты численных методов решений систем линейных алгебраических и нелинейных уравнений. Описаны методы экстраполяции и интерполяции функций. Приведены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Все описанные методы сопровождаются большим количеством примеров и контрольных заданий по каждой теме. Для самостоятельного контроля знаний студентов представлены вопросы для самопроверки и тесты.
Конспект лекций предназначен для студентов и преподавателей технических университетов.
Библиогр. 18 назв. Ил. 4.
УДК 519.6 (075.8)
ББК 22.193я73
© Буренков С.И., Сидоров И.М., 2008
© Иркутский государственный технический университет, 2008
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ................................................. | |
ЛЕКЦИЯ 1. Понятие погрешности решения систем алгебраических уравнений...................................................... | |
1.1. Точные и приближенные числа, источники погрешностей, классификация погрешностей................................ | |
1.2. Абсолютные и относительные погрешности.................... | |
1.3. Понятие о системе линейных уравнений....................... | |
1.4. Матричные уравнения...................................... | |
Лекция 2. Точные и приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау) | |
2.1. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений | |
2.2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) | |
Лекция 3. Приближенные методы решения слау | |
3.1. Понятие предела для векторов и матриц | |
3.2. Метод простой итерации | |
Условия сходимости итерационного процесса | |
3.4. Оценка погрешности приближенного процесса методом итерации | |
Лекция 4. Метод Зейделя | |
4.1. Условия сходимости процесса Зейделя | |
4.2. Оценка погрешности процесса Зейделя | |
4.3. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций | |
Лекция 5. Методы решения нелинейных уравнений | |
5.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений | |
5.2. Метод Рыбакова | |
5.3. Метод наискорейшего спуска | |
Лекция 6. Интерполирование и экстраполирование | |
6.1. Интерполяционный многочлен лагранжа | |
6.2. Оценка погрешности интерполяционного многочлена лагранжа | |
Лекция 7. Конечные разности | |
7.1. Первая интерполяционная формула ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции | |
7.2. Вторая интерполяционная формула ньютона | |
7.3. Оценка погрешностей интерполяционных формул ньютона | |
Лекция 8. Линейное интерполирование | |
8.1. Интерполирование по Эйткину | |
8.2. Интерполяция и приближение сплайном | |
Лекция 9. Численное интегрирование функций | |
9.1. Постановка задачи | |
9.2. Формула прямоугольников | |
9.3. Формула трапеций. | |
9.4. Формула парабол (формула симпсона). | |
Лекция 10. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений | |
10.1. Задача коши. Общие замечания. Постановка задачи | |
10.2. Метод Эйлера | |
10.3. Модифицированный метод Эйлера | |
10.4. Метод Рунге-Кутта | |
Лекция 11. Разностный метод решения уравнений математической физики (метод сеток) | |
11.1. Метод сеток для уравнения параболического типа | |
Лекция 12. Метод сеток для уравнения гиперболического типа | |
12.2. Метод сеток для уравнений пуассона и лапласа | |
Образцы выполнения контрольных работ | |
Контрольная работа № 5 | |
Контрольная работа № 6 | |
Контрольная работа №7 | |
Контрольная работа №8 | |
Примеры заданий для самостоятельной работы | |
Задание 1 | |
Задание 2 | |
Задание 3 | |
Задание 4 | |
Задание 5 | |
Задание 6 | |
Задание 7 | |
Задание 8 | |
Вопросы для самостоятельной подготовки | |
Библиографический список |
|
|
|
|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Прогресс вычислительной техники и методов программирования позволяет точнее моделировать физические и технические процессы для оптимизации и эффективности производственной деятельности человека, позволяет прогнозировать протекание исследуемых процессов в других условиях и при других параметрах. Как известно, существует всего 8 физических задач, которые решаются точно, остальные решаются лишь приближенно.
Кроме того, данные экспериментов, необходимые для решения практических задач, тоже даны в виде приближенных чисел. Поэтому каждый инженер, который по роду своей деятельности постоянно сталкивается с вычислительными задачами, возникающими при исследовании физических и технических проблем, должен иметь твердые навыки работы с приближенными числами и стандартными численными методами.
В данном учебном пособии рассматриваются численные методы решения задач наиболее часто встречающихся в инженерной и научно-технической практике, а именно: приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений и приближенное решение нелинейных уравнений.
Рассматриваются различные методы интерполяции и экстраполяции для приближенного вычисления значений функций. Дан метод интерполяции сплайнами. Авторы планируют продолжить рассмотрение численных методов дифференциального и интегрального исчисления.
Лекции содержат достаточно полное изложение основных вопросов курса вычислительной математики, соответствующих требованиям к минимуму обязательной программы по подготовке дипломированных специалистов.
ЛЕКЦИЯ 1. ПОНЯТИЕ ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Точные и приближенные числа, источники погрешностей, классификация погрешностей
Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного числа A и заменяющее последнее в вычислениях. При решении задач вручную или на компьютере, мы получаем числовой результат, который не является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с массовыми действиями над числами, может быть решена с той или иной степенью точности. Поэтому при постановке задачи должна быть указана точность ее решения, т.е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.
|
|