Приближение линейными сплайнами

 

Пусть m = 1.

Тогда общее число Q свободных параметров равно 2 N.

Поставим вопрос о построении сплайна совпадающего с функцией f (x) в точках x ₀, x ₁ ,…, x_n.

 

Получим систему уравнений

 

 

 

Эта система распадается на системы уравнений относительно коэффициентов отдельных многочленов

 

 

,

 

отсюда находим

 

 

Многочлен P_{n 1}(x) является многократно рассматривавшимся интерполяционным многочленом первой степени с узлами интерполяции x_{n- 1}, x_n.

Широкое распространение сплайнов во многом вызвано тем, что они являются в определенном смысле наиболее гладкими функциями среди функций, принимающих заданные значения. Сплайны степени выше первой в случае гладкой f (x) хорошо приближают не только саму функцию, но и ее производные.

 

 

ЛЕКЦИЯ 9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Известно, что не для всякой функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно и применяются различные методы приближенного вычисления определенных интегралов. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, рассмотрим три приближенных формулы, с помощью которых численное интегрирование проводится с любой степенью точности.

 

Постановка задачи

Пусть на отрезке [ a,b ] задана непрерывная функция y = f(x). Требуется вычислить приближенное значение определенного интеграла

 

(9.1)

Если f(x) ≥ 0 при a ≤ х ≤ b, то интервал будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), прямыми х = a, х = b и осью Ох (рис.9.1).

Воспользуемся этой интерпретацией определенного интеграла.

Разобьем отрезок [ a,b ] точками a = х ₀, х ₁,..., х_n = b на n равных частей длины , так что x_i = a + ih, .

 

Величина h называется шагом интегрирования. Обозначим через у ₀, у ₁, …, у_n значения функции y = f(x) в точках х ₀ , х ₁ ...., х_n соответственно, то есть y_i = f(x_i), .