Высшие гармоники в трехфазных цепях

Рассмотрим особенности расчета трехфазных цепей несинусоидального тока на конкретном примере.

Пример 5.1.

K

Zн,а

Zн,в

в

y

n

z x

Zн,с

с

unN

iB

iC

A

iA

a

Zобм

uA

uC

C

B

uB

Zобм Zобм

N x z y

V2

V1

A1

A2

V3

V5

V4

 

 

Рис. 5.1.

Вторичные обмотки трехфазного трансформатора, соединенные звездой имеют фазные напряжения:

В;

В;

В.

Определить токи в ветвях схемы; показания приборов при замкнутом и разомкнутом ключе К, если нагрузкой является батарея конденсаторов для компенсации реактивной мощности.

Сопротивление вторичных обмоток трансформатора для первой гармоники: Ом.

Нагрузка – батарея конденсаторов, соединенных в звезду. Для первой гармоники: Ом.

Определить показания приборов при тех же фазных напряжениях и сопротивлениях при соединении источника и приемника треугольником (схема рис. 5.2).

C

A

B

Zобм

Zобм

Zобм

с

а

в

Zн

Zн

Zн

А1

А2

V

A3

 

Рис. 5.2.

Решение

А. Для схемы рис. 5.1, в которой ключ К разомкнут.

В этом случае схема соединения – «звезда – звезда без нулевого провода». Поэтому токи третьей гармоники будут отсутствовать, т.к. из-за отсутствия нулевого провода им замыкаться негде. В цепи будут протекать только токи 1-й и 2-й гармоник. Рассматриваемая цепь симметричная, следовательно, для 1-й и 5-й гармоник напряжение смещения нейтрали будет равно нулю, поэтому расчет можно проводить для каждой фазы отдельно.

Первая гармоника (k = 1):

Комплексы действующих значений напряжений трансформатора:

, В; В;

В.

Токи в фазах:

А;

А;

А.

Проверка

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для фазы «А», контур «A, a, Z_н, x, X, A»:

;

, т.к. для 1 гармоники трехфазная система симметричная.

т.е. второй закон Кирхгофа выполняется для первой гармоники.

Третья гармоника (k = 3):

(из-за отсутствия нулевого провода).

Пятая гармоника (k = 5):

Сопротивление реактивных элементов для 5-й гармоники:

Ом; Ом.

Мгновенное значение напряжения фазы «А» для 5-й гармоники:

В.

Комплексы действующих значений напряжений для 5-й гармоники:

В;

В;

В.

Токи в фазах:

А;

А;

А.

Проверка для 5-й гармоники.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для фазы «А»:

;

Т.е. второй закон Кирхгофа выполняется для 5-й гармоники.

Мгновенное значение тока в фазе «А»:

Показания приборов (индексы токов и напряжений соответствуют обозначениям и номерам приборов в схеме рис. 5.1):

Амперметр А₂ покажет «0», т.к. ключ «К» разомкнут:

.

Вольтметр V₃ покажет напряжение смещения нейтрали:

В.

Вольтметр V₅ покажет фазное напряжение на нагрузке:

В.

В.

В.

Вольтметры V₂ и V₄ показывают линейное напряжение. Так как линейные напряжения равны разностям напряжений двух смежных фаз, то они не содержат гармоник напряжений порядка, кратного трем, т.к. последние образуют системы нулевой последовательности.

В.

Б. Для схемы рис. 5.1, в которой ключ «К» замкнут.

После замыкания ключа «К» схема соединения становится «звезда-звезда с нулевым проводом». Поэтому токи 3-й гармоники будут замыкаться через нулевой провод. Фазный ток 3-й гармоники:

,

здесь – комплекс действующего значения напряжения 5-й гармоники:

В.

, Ом; Ом;

А.

Проверка. Для 3-ей гармоники:

Уравнение по второму закону Кирхгофа для фазы «А»:

.

Здесь U_nN = 0, т.к. сопротивление нулевого провода равно нулю.

Т.е. второй закон Кирхгофа выполняется и для 3-й гармоники.

В нулевом проводе (согласно первого закона Кирхгофа) будет протекать три фазных тока 3-й гармоники:

 

А.

Для 1-й и 5-й гармоник из-за симметричности трехфазных цепей для них ничего не меняется, поэтому напряжения и токи будут иметь те же значения, что и при разомкнутом ключе «К».

В фазах будут протекать токи 1-, 3- и 5-й гармоник.

Так, для фазы «А»:

Действующее значение этого тока:

А.

Амперметр А₁ в схеме рис. 5.1 показывает действующее значение тока фазы А; т.е. А.

Вольтметр V₃ будет закорочен ключом и амперметром А₂, поэтому его показания будут равны 0.

Амперметр А₂ показывает действующее значение тока в нулевом проводе:

А.

Вольтметр V₅ измеряет действующее значение фазного напряжения на нагрузке Z_нв:

,

где В; В – определены ранее в п. А.

Тогда:

В.

Вольтметры V₂ и V₄ показывает линейное напряжение, которое не содержит напряжений нулевой последовательности (напряжение 3-й гармоники). Поэтому линейные напряжения будут такими же, как и в схеме п. А, т.е. показания вольтметров: В.

В. Определяем показания приборов в схеме при тех же фазных напряжениях и сопротивлениях, но при соединении источника и приемника треугольником (рис. 5.2).

При соединении обмоток источника в треугольник 3-я гармоника будет протекать только в обмотках источника. Ток 3-й гармоники:

 

Амперметр А₁ будет показывать действующее значение тока в фазе источника (обмотках трансформатора):

.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для контура «A, a, Z _н, в, B, A» для 1-й и 5-й гармоник получаются такие же выражения для токов, как и для схемы с разомкнутым ключом «К»:

А;

и

Показания амперметра А₁:

А.

Так как в нагрузке отсутствует 3-я гармоника, а остальные составляющие имеют те же значения, то зависимости токов и напряжений на нагрузке и их числовые значения будут такими же, как для схемы без нулевого провода, т.е. для схемы с разомкнутым ключом «К». Поэтому: показания амперметра А₃ – действующее значение тока в нагрузке:

, где:

, А; А, тогда:

А.

Амперметр покажет действующее значение линейного тока нагрузки, поэтому:

А.

Вольтметр V покажет действующее значение линейного (оно же и фазное) напряжения на нагрузке:

,

где В; В,

т.е. – для случая с разомкнутым ключом «К» (схема рис. 5.1).

В.