Направляющие косинусы и длина вектора.
Скалярным произведением ненулевых векторов и называют число (скаляр), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними:
.
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то угол φ не определен и скалярное произведение по определению полагают равным нулю.
По определению и .
Скалярное произведение называется скалярным квадратом и по определению т. е. = откуда следует .
Из определения следует, что для любых ненулевых векторов и и любого действительного числа μ справедливы соотношения:
1. · = · .
2. μ·( · )=(μ )· = ·(μ. ).
3. и, следовательно, ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Пусть задан вектор . Если , , , то числа называют направляющими косинусами вектора и координаты вектора представляются в виде:
Тогда и после нормирования вектора получаем , т.е. направляющие косинусы вектора являются координатами его орта .
Если , то т.е. . Если в этой формуле орт 0 заменить вектором , то приходим к понятию проекции вектора на вектор: , т.е .
|
|
Воспользуемся этой формулой и докажем линейность скалярного произведения:
Имеем:
что и требовалось доказать.
Пользуясь линейностью скалярного произведения, найдем его для векторов
= (а1, а2, а3) и = (b1, b2, b3)
Для этого сначала запишем координаты вектора в виде скалярных произведений: . Затем обе части разложения умножим скалярно на .
Получим: т.е. скалярное произведение векторов в координатной форме имеет вид: Из полученной формулы сразу же следует:
1. и
2. Если и векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .
3. , т.е. сумма квадратов направляющих косинусов одного направления (одного вектора) равна 1.
4. Если координаты векторов и пропорциональны, то векторы коллинеарны, т.к. в этом случае cos() = .
Задача 0.38. Используя понятие проекции вектора на вектор, найти длины отрезков, на которые высота BD, опущенная из вершины B (7; 0; 2), делит сторону AC треугольника ABC, если A(-3; 5; -6) и C(3; -4; 12).
Решение. По координатам точек найдем координаты векторов и вычислим .
Найдем проекции векторов и на вектор .
. .
Контроль: .
Ответ: , ;
Задача 0.39. Радиус–вектор точки M составляет с осью y угол , с осью z угол , а его длина 8. Найдите координаты точки М, если ее абсцисса отрицательна.
Решение. Координаты вектора =(x, y, z) выразим через его модуль и направляющие косинусы: , , или , .
Т.к. сумма квадратов направляющих косинусов одного направления равна 1, т.е. , то , и т. к. , то . Следовательно, . Ответ: (-4; 4; 4 ).
Задача 0.40. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения В(3;-2;-1) переместилась в С(4;-3; 3).
|
|
Решение. Найдем вектор перемещения точки приложения силы: . Тогда работа, произведенная силой , равна по определению скалярному произведению .
Ответ: 16 ед. работы.
Задача 0.41. Вектор перпендикулярен вектору . Скалярное произведение вектора и вектора равно 3. Известно, также что , где . Найдите координаты вектора и постройте его в прямоугольной декартовой системе координат.
Решение. Если , то или . Если , то . Если , то или .
В итоге решаем систему уравнений.
Следовательно, .
На осях x, у и z от начала координат откладываем векторы , и и на этих векторах строим параллелепипед, диагональ которого, исходящая из точки О, и является вектором . Ответ: .