2017-12-16
473
66. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Теорема о линейной независимости.
67. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Пример.
68. Матрица Грама. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
69. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространств. Ортогональная проекция на подпространство.
70. Изоморфизм евклидовых пространств.
71. Ортогональные и унитарные матрицы и их свойства. Теорема о матрице перехода. Свойства эрмитовых и симметричных матриц.
72. Сопряженный линейный оператор. Теорема существования и единственности. Свойства сопряженных операторов.
Определение самосопряженного оператора. Теоремы о матрице, о собственных значениях и собственных векторах. Следствия из этих теорем.
Определение самосопряженного оператора и теорема об ортонормированном базисе.
75. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.
76. Приведение уравнений поверхностей второго порядка к каноническому виду (решение задач).
Определение изометрии и теорема об её собственных значениях.
Определение изометрии и теорема о длинах.
79. Определение изометрии и теорема об ортонормированном базисе.
80. Определение изометрии и теорема об обратном операторе. Матрицы ортогональных и унитарных операторов.
Ортогональные операторы на евклидовой плоскости.
Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве.
Симметричные операторы на евклидовой плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве.
Общее определение тензора. Примеры тензоров.
85. Общее определение тензора. Алгебраические операции над тензорами. Прямой тензорный признак.
86. Общее определение тензора. Обратный тензорный признак.
87. Преобразования взаимных базисов.
88. Тензоры в евклидовом пространстве. Метрический тензор. Контравариантные и ковариантные координаты вектора.
89. Операции поднятия и опускания индексов. Тензоры в ортонормированных базисах. Евклидов (ортогональный) тензор.
Определение группы и простейшие следствия из аксиом.
91. Группа Лоренца.
На 4 – знать формулировки во всех выделенных вопросах; на 6 – знать все формулировки и уметь доказывать все утверждения в вопросах 2, 10, 12, 18, 22 (без последнего свойства), 23, 35, 38, 51, 61, 63, 64, 65, 68 (кроме последнего вопроса), 71, 73, 77, 81, 83, 90; на 7 – знать все формулировки и уметь доказывать все утверждения в вопросах 2, 10, 11, 12, 14, 18, 22 (без последнего свойства), 23, 35, 38, 50 (без последнего), 51, 56, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 68 (кроме последнего вопроса), 71, 73, 77, 81, 82, 83, 90. Доказательства в вопросах 28, 34, 37, 41, 49, 62, 69, 74, 76, 78, 80, 86, 87, 88 необходимо знать только при ответе на 9. Кроме того, для получения положительной оценки необходимо решить задачу.
ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ по линейной алгебре
(числа в экзаменационных задачах будут изменены)
Все задачи решались на практических занятиях, либо предлагались в качестве домашнего задания
