Уравнение Шредингера. Принцип Гейзенберга

Для описания двойственного поведения электронов физик-теоретик Эрвин Шредингер в 1926 году предложил волновое уравнение в рамках квантовой теории. Оно является математическим выражением фундаментального свойства микрочастиц. При квантово-механическом описании поведения частицы вводится понятие ψ-функции, зависящей от координат и времени. В случае неизменности волнового процесса во времени для частицы массой m можно записать стационарное уравнение Шредингера:

, где Ĥ – оператор Гамильтона (гамильтониан – оператор полной энергии квантовой системы, множество возможных значений при измерении ее полной энергии):

; .

Это уравнение можно сопоставить с уравнением из классической физики E_K + V = E, где E_K – кинетическая, V – потенциальная энергия системы.

Уравнение имеет решение относительно ψ-функции, при любом значение параметра Е. Однако, природа должна позволять только «хорошие» решения. «Хорошие» решения – результат ряда ограничений на искомые функции.

ψ-функция должна быть:

- однозначна, то есть иметь единственное значение в каждой точке пространства,

- непрерывна,

- конечна, для всех x,y,z, даже стремящихся к бесконечности

- должна иметь непрерывную и конечную производную.

Уравнение имеет «хорошие» решения лишь при некоторых «хороших» значениях параметра Е, который называется собственным значением оператора. Все значения Е и представляют собой набор собственных значений энергии квантовых частиц. Решения, соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями. Процесс подбора собственных энергий и собственных волновых функций и есть поиск решения уравнения Шредингера.

Эрвин Шредингер придал ψ-функции смысл, как характеристике пространственного распределения заряда, а частиц как волновых пакетов, построенных из множества таких функций. Квадрат волновой функции представил как электрическую плотность. Такая трактовка оказалась неудовлетворительной. Такие пакеты должны со временем расплываться, что противоречило экспериментальным данным.

Удобную интерпретацию волновой функции предложил немецкий ученый Макс Борн. Он предложил считать волновые свойства микрочастиц волнами вероятности. Таким образом, ψ-функция связанна с вероятностью найти электрон в той или иной области пространства. Принято считать, что сама ψ-функция не имеет физического смысла, а ее квадрат ψ² представляет собой плотность вероятности обнаружения электрона в определенном месте и времени.

Вероятностная трактовка напрямую вытекает и из принципа неопределенности, сформулированного Вернером Гейзенбергом – о невозможности одновременно точного определения координаты и скорости (импульса) квантовых частиц. Математическое выражение принципа называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:

,

где Δ x – неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты, Δ p – неопределенность импульса электрона. Это соотношение можно объяснить влиянием процесса измерения на его результат.

В эксперименте с двумя щелями появление наблюдателя (фотонов электромагнитного излучения) при определении положения электронов, вносит изменения в их последующее движение. Если попробовать минимизировать влияние наблюдения, уменьшая интенсивность источника света до возможно малой величины – отдельные фотоны все равно будут менять поведение электронов. Всегда существует минимальное возмущение, которое вносится в движение электрона при измерении его местоположения.

Можно дополнительно уменьшить частоту излучения, тем самым уменьшив его энергию и, как следствие, воздействие на объект исследования. Когда волна направляется на поток частиц, получаемая информация позволит определить положение частицы с некоторой погрешностью, равной длине волны.

То есть, если наблюдение происходит с помощью излучения с малой длины волны, положение электрона определяется с высокой точностью. Но такие фотоны несут большое количество энергии и, следовательно, меняют скорость движения электронов. Если используется длинноволновое излучение, его влияние на движение электрона минимально, но значительно снижается точность определения положения электрона. Базируясь на подобных рассуждениях Вернер Гейзенберг вывел фундаментальный закон квантовой механики – принцип неопределенности. Из-за невозможности одновременного точного определения координаты и импульса микрочастицы, квантовая механика оперирует вероятностными величинами.