Разобьем интегралы от тригонометрических выражений на несколько групп.
I. - это означает, что над синусом и косинусом проведены только рациональные операции (+, –, .,:, ^). Интегралы такого типа сводятся к интегралам от рациональных дробей путем универсальной тригонометрической подстановки:
tg(x/2)=t.
Выразим x и получим dx: .
Подготовим выражения через t для sin x и cos x:
=>
=>
Пример 17.
Частные случаи, когда универсальная тригонометрическая подстановка не эффективна, поскольку приводит к громоздким выкладкам:
1) – подынтегральная функция нечетная относительно синуса. Рекомендуемая подстановка: cos x = t.
2) – подынтегральная функция нечетная относительно косинуса. Рекомендуемая подстановка: sin x = t.
3) – подынтегральная функция четная относительно синуса и косинуса. Рекомендуемая подстановка:
Пример 18.
II. Интегралы вида
а) n – четное. Интеграл сводится к табличным методом понижения степени:
Пример 19.
б) n – нечетное. Интеграл сводится к табличным методом отделения одной нечетной степени.
Пример 20.
III. Интегралы вида
а) Рекомендуемая подстановка:
б) ИЛИ Применить формулы
Пример 21.
IV. Интегралы вида
Интегралы сводятся к табличным при использовании тригонометрических формул: ;
V. Интегралы вида , где p и r – рациональные числа, причем (p + r) – четное отрицательное число. Рекомендуемая подстановка:
Пример 22.