Иррациональные (также как и трансцендентные) выражения интегрируются в элементарных функциях только в некоторых определенных случаях. Все эти приемы можно назвать методами рационализации подынтегрального выражения.
1) Простейшие выражения подынтегральной функции, содержащей квадратный трехчлен. Этот вариант иррациональности был рассмотрен в примере 8.
Пример 23. .
Если кроме квадратного трехчлена присутствуют еще какие-либо множители, принцип решения интеграла остается прежним.
Пример 24.
.
2) Рекомендуемая подстановка:
Рекомендуемая подстановка:
Рекомендуемая подстановка:
Пример 25.
Пример 26.
3) , где a, b, g …– дробные рациональные числа. Рационализация проводится подстановкой: , где s – наименьшее общее кратное a, b, g …
Пример 27. выделяем целую часть
4) , где a, b, g …– дробные рациональные числа. Рационализация проводится подстановкой: , где s – наименьшее общее кратное a, b, g
Пример 28.
5) Интегрирование дифференциальных биномов.
|
|
ОПР. 6 Выражение вида где (m,n,p,a,b) – const, называется дифференциальным биномом.
Теорема 5. ( Чебышева )
Интегралы (m,n,p ∈ Q) выражаются в конечном виде через элементарные функции, если оказывается целым одно из чисел:
1) p (подстановка , где s – наименьшее общее кратное m и n)
2) (подстановка , где s – знаменатель p)
3) (подстановка , где s – знаменатель p)
Пример 29.
Пример 30.