2018-01-08
683
«Числовая последовательность. Предел числовой последовательности».
Задание 1. З аписать первые пять членов числовых последовательностей с заданным общим членом:
1.1.  .
| 1.2.  .
| 1.3.  .
|
1.4.  .
| 1.5.  .
| 1.6.  .
|
1.7.  .
| 1.8.  .
| 1.9.  .
|
Задание 2. Какие из следующих числовых последовательностей 
ограничены?
2.1.  .
| 2.2.  .
| 2.3.  .
|
2.4.  .
| 2.5.  .
| 2.6.  .
|
2.7.  .
| 2.8.  .
| 2.9.  .
|
Задание 3. Какие из следующих числовых последовательностей 
монотонные?
3.1.  .
| 3.2.  .
| 3.3.  .
|
3.4. 
| 3.5.  .
| 3.6.  .
|
3.7.  .
| 3.8.  .
| 3.9.  .
|
Задание 4. Используя определение предела, доказать, что:
4.1.  .
| 4.2.  .
| 4.3.  .
|
4.4.  .
| 4.5.  .
| 4.6.  .
|
4.7.  .
| 4.8.  .
| 4.9.  .
|
Задание 5. Найти пределы числовых последовательностей:
5.1.  .
| 5.2.  .
| 5.3.  .
|
5.4.  .
| 5.5. 
| 5.6.  .
|
5.7.  .
| 5.8. 
| 5.9.  .
|
5.10.  .
| 5.11.  .
| 5.12. 
|
5.13.  .
| 5.14.  .
| 5.15.  .
|
5.16. 
| 5.17. 
| 5.18. 
|
5.19. 
| 5.20. 
| 5.21. 
|
Тема4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.
Предел функции в точке.
Определение 4.1. Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
и не обязательно в ней самой. Число 
называется пределом функции 
в точке 
(или при 
), если для любого положительного числа 
найдется такое положительное число 
, что для всех 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
. Символически это записывается так: 
.
Коротко определение предела функции в точке можно записать следующим образом:
.
Пример 4.1. Докажем, что 
.
Решение: Число 5 будет пределом функции 
при 
, если, по определению,для любого 
найдется такое число 
, что для всех 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
. После подстановки функции это неравенство примет вид 
или 
. Тогда если принять 
, то из неравенства 
будет сразу же следовать неравенство 
. Это и доказывает, что 
.
