Производные высших порядков. Производная дифференцируемой функции , которую называютпроизводной первого порядка, представляет собой некоторую новую функцию

Производная дифференцируемой функции , которую называютпроизводной первого порядка, представляет собой некоторую новую функцию. Может оказаться так, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второгo порядка (или второй производной)и обозначается следующим образом: или . Аналогично, если существует производная от производной второго порядка, она называется производной третьего порядка (или третьей производной)и обозначается так: или и т.д.

Определение 10.1. Производная от производной -гопорядка называется производной -го порядка и обозначается .

Определение 10.2. Функция называется непрерывно дифференцируемой n раз, если существуют все ее производные до -гопорядка включительно и эти производные непрерывны.

Пример 10.1. Вычислить производную второго порядка от функции .

Решение: Сначала найдем первую производную: . Вторая производная определяется как производной от первой производной, следовательно .

Замечание 10.1. Для нахождения второй производной функции , заданной параметрически

используют следующую формулу:

,где .

Пример 10.2. Найти вторую производную функции, заданной параметрически

Решение: Первая производная заданной функции (см. пример 8.8):

.

Тогда

.