Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения. Уравнения с разделяющимися переменными

Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида

1. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно его можно записать в виде

В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Теорема. Если в уравнении функция и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости содержащей некоторую точку, то существует единственное решение этого уравнения удовлетворяющее условию.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям:
а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной С;
б) каково бы ни было начальное условие y=y0 при x=x0 можно найти такое значение c=c0, что функция y=(знак фи)(x, C0) удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения x0 и y0 принадлежат к той области изменения переменных х и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения.
Частным решением называется любая функция y=(знак фи)(x, C0) которая получается из общего решения y=(знак фи)(x, C), если в последнем произвольной постоянной С придать определенное значение C=C0. Соотношение Ф(x,y,C0)=0 называется в этом случае частным интегралом уравнения.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные: а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

67. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если и - однородные функции одной и то же степени.
Функция называется однородной функцией k -й степени, если для любого t выполняется равенство .В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство .

68. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.
Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков: , где и - непрерывные функции от x.
Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида .
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида .

69. Общее и частное решения линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.
Теорема: Общее решение линейного однородного дифференциального уравнение с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами определяется линейной комбинацией , где - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а - произвольные постоянные.
Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y₀=C₁⋅y₁+C₂⋅y₂, где y₁ и y₂ – частные линейно независимые решения, а С₁ и C₂ – произвольные постоянные.
Если принять частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами , то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество:

 

70.Нахождение частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида ,где p и q - вещественные числа (постоянные величины), f (x) - непрерывная функция.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. такого, у которого правая часть равна нулю. Записывается это так: .
Правая часть - многочлен некоторой степени.
Пусть правая часть - многочлен второй степени: . Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать также в виде многочлена второй степени: . Задача состоит в определении коэффициентов A, B, C.. Для этого находим первую и вторую производные функции Y, а затем выражения Y, и подставляем в уравнение вместо маленькой буквы y с соответствующим количеством штрихов. В результате получаем или после группировки членов левой части

 

71. Понятие числового ряда. Сходимость ряда. Геометрическая прогрессия. Необходимый признак сходимости ряда.
Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5: . называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда. Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид
Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, .
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0
q – знаменатель прогрессии

Геометрическая последовательность является возрастающей, если b1 > 0, q > 1,
Геометрическая последовательность является убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1
Формула n-го члена геометрической прогрессии

b_n = b₁ · q ^n-1

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

b_n² = b_n-1 · b _n+1

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

 

Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:

Если ряд ∑n=1∞un сходится, то limn→∞un=0.

 

72. Свойства сходящихся рядов. Остаток ряда.
Теорема 1 (необходимые условия сходимости ряда). Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю.
Если ряд u_n сходится, т. е. существует конечный предел s_n его частичных сумм, то из равенства u_n = s_n - s_n -1, n = 2, 3,...,
следует, что
u_n = s_n - s_n -1 = s - s = 0.
Теорема 2. Если ряды u_n и v_n сходятся, то для любых C, C ряд ( u_n + v_n)cходится и ( u_n + v_n) = u_n + v_n.

Положим s_n = u_k, _n = v_k, тогда ( u_k + v_k) = s_n + _n

Если ряды u_k и v_k сходятся, т. е. существуют конечные пределы s_n = u_k и _n = v_k, то существует и конечный предел ( u_k + v_k) = s_n + _n = u_n + v_n.
что и означает справедливость утверждения теоремы.
Теорема 3. Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится. Если какой-то остаток ряда сходится, то сам ряд также сходится, причем, если

s = un. sn = uk. rn = un+k,

то при любом n = 1, 2,...

s = sn + rn.

Пусть s_n и являются соответственно n -й частичной суммой ряда u_n и m -й частичной суммой его остатка: s_n = u ₁ + u ₂ +... + u_n, = u_n +1 + u_n +2 +... + u_n+m; тогда

sn+m = sn + .

Поэтому при произвольно фиксированном n пределы s_n+m и одновременно существуют или не существуют. Существование первого из этих пределов означает сходимость ряда u_k, а существование второго - сходимость остатка u_n+k этого ряда. Если оба рассматриваемых предела существуют, то, перейдя к пределу при m в равенстве, получим формулу.

73. Ряды с положительными членами. Сравнительные признаки сходимости.
Особенное значение имеют ряды с положительными (не отрицательными) членами, для которых все числа
Для них мы установим ряд признаков сходимости и расходимости.
1. Ряд с положительными членами может быть только либо сходящимся, либо же собственно расходящимся; для такого ряда

Для того чтобы ряд с положительными членами был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сумма Sn его первых членов при всяком n оставалась меньше некоторой постоянной A не зависящей от n.
Для этого мы установим признак:
2. Если каждый член ряда с положительными членами

начиная с некоторого члена, не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда

то и ряд также сходится.
Если же, наоборот, каждый член ряда, начиная с некоторого n, не меньше соответствующего члена расходящегося ряда с положительными членами, то и ряд также расходится.

 

74. Признаки сходимости положительных рядов Даламбера и Коши.
Ряд вида

называется положительным, если все его члены неотрицательные

Признак Даламбера

Пусть члены ряда

положительные и отношение -го члена до -го имеет предел при

Если то ряд сходится,

если - ряд расходится.

При надо применять другой признак сходимости, поскольку данный признак не может определить сходится ряд или расходится.

Радикальный признак Коши.
Если для ряда положительными членами существует граница

то при ряд сходится, а при - разбегаются.

При нужно применять другой признак сходимости.

 

 

75. Интегральный признак сходимости ряда.
Теорема 10. Если функция f: [1;+ ) неотрицательна и убывает на этом промежутке, то ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл (2)
Доказательство:
Поскольку функция f убывает на промежутке [1; + ), то f(к + 1) <=f(x) <=f(к), к =1, 2,...,x€[к, к + 1]. Проинтегрируем это по отрезку x€[к, к +1] получим (3)
Просуммировав это неравенство отк = 1 до n, будем иметь (4) где Sn- частичная сумма ряда (1). Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S. Тогда S_n<=S т.к. последовательность {Sn} не убывает. Для любого €[1;+oo) найдется такое n, что n>= , поэтому из (3) и (4) имеем, что . Последнее означает, что несобственный интеграл (2) сходится. Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Тогда и, в силу (3) имеем, что

, n=1,2,…

Последнее означает, что последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена сверху, т.е. ряд (1) сходится.

76. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что
1. an+1 <an для всех n;
2. Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

77. Степенные ряды и их свойства. Область сходимости степенного ряда.
Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.
Степенным рядом называют ряд члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а - постоянные величины. Числа - коэффициенты членов ряда, - свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.
Область сходимости функционального ряда может быть разнообразной по структуре и даже не содержать ни одной точки. При подстановке в степенной ряд значения x = 0 получится числовой ряд который сходится. Следовательно, при x = 0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова.

78. Ряды Тейлора и Маклорена.
Если функция f(x) разлагается в ряд по степеням (x - x₀), то этот ряд имеет вид: f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀)/1! (x - x₀)+ (f ’’(x₀) (x - x₀)²)/2!+…+ =(f ⁿ (x₀) (x - x₀)ⁿ)/n! +…= (f ⁿ (x₀) (x - x₀)ⁿ)/n! Степ ряд такого вида наз-ся рядом Тейлора ф-и f(x) в т. x₀. Если x₀ = 0, то такой ряд наз-ся рядом Маклорена.
Теорема: Ряд Тейлора сходится тогда и только тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при , т.е. для всех значений x из интервала сходимости .
Теорема(дост. условие разложения в ряд Тейлора): Если производные любого порядка n=0,1,2… функции f(x) ограничены в некоторой окрестности точки x˳ одним и тем же числом M>0, т.е. , то ряд Тейлора функции f(x) сходится к f(x) для любого x из этой окрестности. Теорема: Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

79. Разложение некоторых функций в степенной ряд.
Пусть дана функция f (x), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде:
Задача состоит в определении коэффициентов ряда. Для этого, дифференцируя равенство почленно, последовательно найдём:

Полагая в равенствах (30) и (31) х = 0, находим

Тогда

Подставляя найденные выражения в равенство, получим

Это разложение функции f (x) в ряд называется рядом Маклорена.

80. Применение рядов в приближенных вычислениях.
Применение рядов позволяет с заданной точностью вычислять значение функций, определенных интегралов, находить частные решения дифференциальных уравнений и т. п. Основной трудностью при этом является оценка точности вычислений. Данную трудность преодолевают с помощью оценки остаточного члена ряда.
Если остаточный член ряда представлен с помощью функции , то необходимо найти - количество членов ряда, учитываемых при расчете, при котором остаточный член не превзойдет требуемой точности вычисления e, т. е. .
Если остаточный член представлен в виде знакочередующегося ряда.
, то оценка погрешности вычисления является наиболее простой. В этом случае применяют терему Лейбница, согласно которой сумма ряда (остатка ряда) по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена ряда.
Если же остаточный член представляет знакопостоянный ряд , то для его оценки необходимо составить так называемый можарирующий ряд. Данный ряд обычно является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, сумма которой легко находится.