2018-01-08
439
Найти по формуле Ньютона-Лейбница
1) 
4) 
2) 
5) 
3) 
6) 
Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть 
-непрерывная на отрезке [a;b] функция, а 
-непрерывна вместе со своей производной и монотонна на отрезке 
, причем 
, 
.
Тогда справедлива формула замены переменной 
Пример 1
Вычислить 
.
Решение. Функция 
непрерывна на отрезке 
. Рассмотрим подстановку 
, при 
, а при 
. Из условия 
находим 
. Так как 
, то 
. Функции и непрерывны на отрезке 
и монотонна на этом же отрезке. Таким образом, при данной подстановке формула замены переменной справедлива.
Ответ. 
.
Пример 2
Найти 
.
Решение. Функция 
непрерывна на 
. Рассмотрим подстановку 
если 
, то из условия 
получаем 
, т.е. 
, если 
, то из условия 
получаем 
, т.е. 
. Таким образом 
. Так как 
, то 
. Функции 
и непрерывны на 
и 
монотонна на этом же отрезке. Таким образом, при данной подстановке формула замены переменной справедлива.
Ответ. 
Замечание. При использовании формулы замены переменной необходимо проверять выполнение перечисленных условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен неверный результат.
|
|
|
Пример 3
Вычислить 
Решение.
С другой стороны, формально
значит получен неверный результат. Это произошло потому, что функция 
разрывна при 
и не удовлетворяет условиям замены переменной.
