Площадь поверхности вращения

Пусть функция неотрицательна и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a;b]. Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси имеет площадь S, которая может быть вычислена по формуле .

Если поверхность образована вращением кривой, заданной уравнением вокруг оси то

Если кривая задана параметрическими уравнениями то

Если кривая задана уравнением в полярных координатах то

Пример 1

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги синусоиды от до

Решение.

Применяя формулу площади поверхности вращения, имеем

Ответ.

Пример 2

Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси линии

Решение.

Так как линия вращается вокруг оси запишем ее уравнение в виде (рис. 9).

Рисунок 9

При

Найдем :

Тогда

Ответ.

Работа переменной силы

Работа переменной силы Х=f(x), действующей в направлении оси Ох на отрезке [ ], вычисляется по формуле

Пример 1

Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см?

Решение.

Согласно закону Гука, сила Х Н, растягивающая пружину на х м, равна Х = kx. Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если х = 0,01 м, то X =1 H; следовательно, k = 1/0,01=100 и Х = 100 х. Тогда

Дж.

Пример 2

Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из конического сосуда, основание которого горизонтально и расположено ниже вершины, если радиус основания равен и высота равна h.