2018-01-08
467
Функция f называется непрерывной в точке х, если предел функции f(x) при х®а существует и равен значению функции в этой точке:
(6.1)
Из определения следует, что функция f непрерывна в точке 
, если выполняются следующие условия:
1) функция f определена в точке 
и ее окрестности;
2) существуют односторонние пределы:
и 
;
3) односторонние пределы равны между собой:
;
4) односторонние пределы равны значению функции в точке :
.
Определение. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве.
Записывают:
f 
(функция f непрерывна в точке 
, т. е. принадлежит классу 
функций, непрерывных в точке 
);
f 
(функция f непрерывна на множестве У, т. е. принадлежит классу функций, непрерывных на множестве У).
Можно доказать:
Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области их определения (или на каждом интервале области определения).
Определение. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва.
В точках разрыва нарушается хотя бы одно из условий (1-4).
Классификация точек разрыва:
Точки разрыва первого рода – это точки, в которых существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой или не равны значению функции в этой точке.
Точки разрыва второго рода – это точки, в которых хотя бы один односторонний предел равен 
.
Пример:
6.1 Точка - точка разрыва первого рода (геометрическая иллюстрация рис. 2.1.)
у у
А А
0 х 0 х
а) б)
 |  |
у у
В
А
0 х 0 х
в) г)
Рис. 6.1. Точки разрыва I рода.
В случаях (а-б) функция имеет устранимый разрыв, можно:
а) доопределить функцию, положив f()=А;
б) переопределить функцию, положив f()=А;
В случае (в) в точке функция имеет неустранимый скачок h = В – А;
Какие условия (1-4) нарушены в каждом из случаев на рис. 6.1.?
6.2. Точка 
- точка разрыва второго рода (геометрическая иллюстрация рис. 2.2.)
у у
х х
0 0
а) б)
у у
х х
0 0
в) г)
Рис. 6.2. Точки разрыва II рода.
Какие условия (1-4) нарушены в каждом случае (а-г) рис. 6.2.?
Пример:
6.3. Исследовать функцию f на непрерывность в точке х = 0:
(2.2)
 |
у
0 х
-1
Рис. 6.3. График функций (6.2.)
Решение. Найдем односторонние пределы:
получили 
.
Односторонние пределы существуют, но различны. Следовательно, функция 
не имеет предела в точке =0 и не является непрерывной в ней, функция в точке =0 терпит разрыв первого рода.
6.4 Исследовать функцию на непрерывность:
(2.3)
Решение.
у
х
Рис. 6.4. График функции (6.3.)
Функция непрерывна на интервалах (- ;0); (0;1); (1;+ ), т. к. составлена на них из непрерывных функций.
Рассмотрим граничные точки:
х=0
f(0)=0; следовательно функция непрерывна в точке х=0;
х=1
функция терпит разрыв I рода в точке х=1; (скачок h=1).
Итак, функция (6.3.) непрерывна на интервалах (
; в точке с абсциссой х=1 функция терпит разрыв первого рода (неустранимый скачок h=1).
6.5 Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента.
(6.4)
Требуется:
1) найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) найти предел функции у при приближении аргумента х к точке разрыва слева и справа;
3) сделать вывод;
4) сделать чертеж.
Решение.
Функция непрерывна на каждом из интервалов 
т. к. на них она представлена непрерывными элементарными функциями. Рассмотрим границы интервалов:
х=-2
f(-2)=0.
Имеем: 
.
Следовательно, функция непрерывна в точке х=-2.
х=1.
f(1)=4-2×1=2.
Имеем: 
- существуют и конечны односторонние пределы, но не равны между собой, следовательно, х=1 – точка разрыва первого рода.
у
-2 1
х
у=х+2 -3 у=4-2х
у= 
-4
-4
Рис. 6.5. График функции (6.4.)
