Уравнение вида у" + by' + су=0,где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта
характеристического уравнения
k2 + bk + c = 0
имеют следующий вид:
а) если D> 0, где k =α, к=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения;
б) , если D = 0,
где α— единственный корень характеристического уравнения;
в) если D< 0,
где
Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Записать ЛОДУ в виде y'' + py ' + qy = 0.
2.Составить его характеристическое уравнение к2 + p к + q = 0,
при этом вводятся обозначения у¢¢ = к 2, у ' = к, у = 1.
3.Вычислить дискриминант D = p2– 4q:
а) если D > 0, то характеристическое уравнение имеет два различных корня к1 ≠ к2. Общее решение ДУ записывается в виде
у = С1е к х + С2е к х, где С1 и С2 – произвольные постоянные.
|
|
б) если D = 0, то характеристическое уравнение имеет два равных корня к1 = к2 = к. Общее решение ДУ записывается в виде
у = С1е к х + С2 х е к х.
в) если D < 0, то характеристическое уравнение имеет два комплексных
корня к1 = а + bi, к2= а – bi, где а, b – действительные числа, i = ,
i – мнимая единица. Общее решение ДУ записывается в виде
у = е а х(С1 cosbx + C2sinbx).[6]