2.1. Степенная функция
Свойства функции и вид графика зависят от показателя степени n.. При этом графики всех степенных функций проходят через точку с координатами (1; 1).
Вид графика:
1. Натуральный показатель | |
Для четного показателя: функция Четная; Ограниченная снизу; имеет экстремум – минимум в точке x=0 | Для нечетного показателя: функция Нечетная; Неограниченная; Монотонно возрастающая; экстремумов не имеет, x=0 – точка перегиба |
2. Целый отрицательный показатель | |
Для четного показателя: функция четная; экстремумов не имеет; ограниченная снизу Ось Ox – горизонтальная асимптота; Ось Oy – вертикальная | Для нечетного показателя: функция – нечетная; неограниченная; монотонно убывающая; Ось Ox – горизонтальная асимптота; Ось Oy – вертикальная |
3. Рациональный показатель (дробный) | |
Для положительного показателя: функция общего вида, монотонно возрастает, экстремумов и асимптот не имеет | Для отрицательного показателя: функция общего вида; монотонно убывает |
|
|
2.2. Рациональная функция (частные случаи)
· Линейная функция. Общий вид . Графиком функции является прямая. Число k – угловой коэффициент . Если k>0 линейная функция возрастает, k<0 - убывает, k=0 – прямая параллельна оси абсцисс (в этом случае имеем частный случай – постоянную функцию, которая в общем виде задается уравнением y = C).
· Квадратичная функция. Общий вид . Графиком функции является парабола. Число – старший коэффициент. Отвечает за направление ветвей параболы; при a>0 – ветви вверх, при a<0 – ветви вниз. Коэффициент b отвечает за вершину параболы; координаты вершины: ; прямая - ось симметрии параболы. Нули функции – это корни квадратного уравнения .
На самом деле график любой квадратичной функции можно получить из графика функции путем преобразования.
Например: ;
Графиком функции является парабола, ветви вверх, вершина (2,5; -0,25), ось симметрии , нули функции .
2.3. Показательная и логарифмическая функции
Функции являются взаимно обратными функциями; их графики симметричны относительно прямой y = x.
Для функции ; для функции .
Обе функции существуют для основания .
Если основание:
· , то показательная и логарифмическая функции монотонно возрастают;
· , то показательная и логарифмическая функции монотонно убывают.
Вид графика экспонента
Для показательной функции характерная точка (0, 1), для логарифмической (1,0);
Для показательной функции ось абсцисс – горизонтальная асимптота, для логарифмической функции ось ординат – вертикальная асимптота.
.
2.4. Тригонометрические функции
· Функция : , четная, период , ограниченная, имеет экстремумы (максимумы и минимумы), асимптот нет, график – косинусоида.
|
|
· Функция : , нечетная, период , ограниченная, имеет экстремумы (максимумы и минимумы), асимптот нет, график – синусоида.
· Функция : , нечетная, период , возрастает на каждом периоде, экстремумов не имеет, прямые - вертикальные асимптоты, график – тангенсоида
· Функция : , нечетная, период , убывает на каждом периоде, экстремумов не имеет, прямые - вертикальные асимптоты, график –котангенсоида.
- Обратные тригонометрические функции
Обратна y=sinx Обратна y=cosx Обратна y=tgx Обратна y=ctgx
на: [−π/2, π/2] на [0, π] на (−π/2, π/2) на (0, π)
Для функции - горизонтальные асимптоты; для функции -