Экспериментальная часть. Схема экспериментальной установки

 

Схема экспериментальной установки

1 – штатив;

2 – нить длиной l;

 

3 – груз;

 

4 – секундомер;

5 – сантиметровая лента

 

Порядок выполнения

 

Упражнение 1. Оценка погрешностей результата измерений.

 

1. С помощью сантиметровой ленты измерьте длину нити , т.е. расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза. Выразив величину в метрах, по формуле (3.12) рассчитайте константу (значение указывается преподавателем). Запишите полученный результат (в метрах) в тетрадь.

2. Под руководством преподавателя или лаборанта научитесь работе с секундомером.

3. Выведите маятник из положения равновесия и отпустите, наблюдая начавшиеся колебания. Помните, что максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом должен быть малым (примерно в пределах 10°). Следите за тем, чтобы колебания маятника происходили в вертикальной плоскости (груз не должен описывать круги или «восьмерки»).

4. Не останавливая колебаний маятника, для тренировки несколько раз измерьте время , в течение которого он совершает полных колебаний.

5. С разрешения преподавателя приступайте к выполнению основной части работы. Повторив описанные выше измерения раз, заполните первые три столбца таблицу по форме. 3.1.

6. Число измеряемых колебаний , и число опытов задается преподавателем.

Форма 3.1

Номер опыта		, с	, м/с2	, м/с2	, (м/с2)2
…

7. Для каждого опыта рассчитайте ускорение свободного падения по формуле (3.11); результаты расчетов занесите в четвертый столбец таблицу по форме 3.1.

8. Изучите методику оценки случайной и приборной погрешностей измерения [8].

9. Вычислите сумму полученных значений величины g и занесите результат в соответствующую ячейку таблицы. Рассчитайте среднее значение и запишите его в тетрадь.

10. Для каждого i -го опыта найдите отклонение значения от среднего , а также квадрат отклонения . Результаты расчетов занесите в два последних столбца таблицы по форме 3.1.

11. Рассчитайте сумму квадратов отклонений и запишите ее в соответствующую ячейку. Вычислите среднеквадратичную ошибку .

12. Выберите из таблицы в приложении значение коэффициента Стьюдента для опытов и доверительной вероятности . Рассчитайте и запишите в тетрадь случайную погрешность измерения .

13. Определите абсолютные приборные погрешности прямых измерений длины нити и времени ; оцените относительные ошибки . Запишите полученные значения в тетрадь и сравните их между собой.

14. Оцените абсолютную приборную погрешность косвенного измерения ускорения свободного падения . При необходимости используйте формулу

.

15. Оцените полную абсолютную и относительную ошибки. Приведите точность вычисления среднего значения в соответствие с найденной погрешностью. Запишите окончательный результат измерений.

 

Контрольные вопросы

 

1. Объясните, какие допущения принимались при выводе формулы (3.3).

2. Объясните, какие приближения использовались, чтобы показать, что колебания математического маятника могут быть гармоническими.

3. Представьте вывод формулы (3.8) для периода колебаний математического маятника.

4. Дайте определение абсолютной и относительной ошибки измерений.

5. Объясните, почему невозможно получить истинное значение физической величины и что такое случайная погрешность при прямых измерениях.

6. Какие величины вводятся для характеристики случайной погрешности?

7. Как определяются случайные погрешности при косвенных измерениях?

8. Объясните, как оценивается полная ошибка при измерениях и как записывается окончательный результат измерений.

 

Используемая литература

[3] §27.1, 27.2; [9].

Лабораторная работа 1-04 “Статистическая обработка результатов эксперимента. Случайные погрешности результатов наблюдений интервалов времени”

 

Цель работы: ознакомление со статистической обработкой результатов измерений и оценкой случайной погрешности измерений интервалов времени.

 

Теоретическое введение.

 

Физика как наука изучает простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы ее движения. Физика – экспериментальная наука: ее законы базируются на фактах, установленных опытным путем. В основе любого эксперимента лежит измерение: последовательность экспериментальных и вычислительных операций, осуществляемая с целью нахождения значения физической величины, характеризующей некоторый объем или явление. Различают прямые и косвенные измерения.

При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно (например, определение длины стержня с помощью линейки) или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах (например, определение разности потенциалов на концах проводника с помощью вольтметра).

При косвенных измерениях измеряемая величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью (например, определение площади круга по измеренному диаметру).

Результат измерения дает лишь приближенное значение измеряемой величины. Погрешности результата измерения определяются разностью измеренной и истинной величин:

(4.1)

Такую погрешность называют абсолютной, а величину

(4.2)

относительной погрешностью.

В зависимости от источников погрешностей измерений различают методические погрешности, связанные с выбором той или иной методики измерения данной величины (например, ускорение свободного падения тел можно определить через период колебаний математического маятника, а можно через расстояние, пройденное телом при свободном падении и время, затраченное на это падение) и инструментальные (приборные) погрешности, связанные с несовершенством измерительной техники.

Погрешность, вносимая прибором при каждом отдельном измерении, связана с точностью прибора. Эта погрешность равна той доле деления шкалы прибора, до которой с уверенностью в правильности результата можно проводить отсчет. Обычно, если нет оговорок в паспорте прибора, она равна половине цены наименьшего деления шкалы.

По характеру проявления различают систематические, случайные погрешности и промахи.

Систематическая погрешность: при повторении одинаковых измерений она изменяется закономерным образом или остается неизменной. Например, у прибора сбит нуль отсчета, и он все время дает завышенный результат; при вычислении используем округленное значение констант и т. д. Этот вид погрешностей может быть учтен и существенно уменьшен путем введения поправок.

Случайная погрешность: при повторении одинаковых измерений она изменяется случайным образом, хаотично и не может быть заранее предсказана ни по величине, ни по знаку. Причиной появления случайных погрешностей являются неконтролируемые условий проведения эксперимента (вибрация здания, колебания напряжения в сети, перемещение воздуха в помещении и т. д.). Случайные погрешности оцениваются по данным многократных измерений методами математической статистики.

Промах: погрешность, возникающая в результате небрежности экспериментатора (например, неправильно снято показание, не по той шкале и т. п.). Промахи должны быть исключены из результатов измерения и анализу не подлежат.

Следует иметь ввиду, что, если в результате измерений случайная погрешность оказывается меньше приборной, то нет смысла увеличивать число измерений. Если случайная погрешность значительно меньше приборной, то измерение можно вообще выполнить лишь один раз. Другими словами, бессмысленно пытаться грубым прибором получить точное значение измеряемой величины.

Рассмотрим основные положения теории случайных погрешностей. Она базируется на двух главных предположениях, подтверждаемых опытом:

1. При большом числе наблюдений одинаково часто встречаются погрешности одинаковой величины, но разного знака.

2. Большие (по модулю) погрешности встречаются реже, чем малые, т. е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины погрешности.

Закономерности, связанные со случайными величинами, изучаются теорией вероятности. Будем использовать частотное определение вероятности. Оно эквивалентно принятому в математике, но является более наглядным и удобным. Это определение связано с представлениями о зависимости между вероятностью и частотой появления события, принятыми в повседневной практике.

Обозначим через число измерений, для которых физическая величина попала в интервал значений между и , через – полное число измерений. Соответственно следует говорить не о точном (истинном) значении величины , а некотором интервале ее значений, то есть о вероятности того, что величина имеет значения, лежащие в интервале между и . Эту вероятность обозначают

(4.3)

Очевидно, что вероятность при прочих равных условиях пропорциональна величине интервала . Поэтому удобно представить в виде

(4.4)

где – вероятность того, что значение лежит в некотором “единичном” интервале. называется плотностью вероятности или функцией распределения.

(4.5)

Теперь с помощью функции распределения мы хотя и не можем указать точно, чему равно истинное значение измеренной величины, но можем найти, с какой вероятностью величина окажется в интервале значений . Эта область значений называется доверительным интервалом, а связанная с ним величина – доверительной вероятностью.

(4.6)

Пусть измерение состоит из независимых повторных наблюдений величины (i=1, 2, 3, …., ). Построим по этим наблюдениям среднее арифметическое

(4.7)

При среднее арифметическое совпадает с истинным значением .

Значения определенным образом группируются относительно истинного значения . Мерой отклонения значения в совокупности измерений служит среднеквадратичное отклонение отдельного измерения .

(4.8)

Квадрат этой величины называется дисперсией. Величины , , определяют плотность распределения результатов наблюдения (или плотность вероятности ). Обычно предполагают, что плотность вероятности подчиняется нормальному закону распределения и описывается функцией распределения Гаусса:

(4.9)

Вид функции Гаусса показан на рисунке 4.1.

Произведение равно вероятности получения результата наблюдения, попадающего в промежуток [ , ]. Геометрически эта вероятность выражается заштрихованной площадкой на рис. 4.1. Очевидно, что полная площадь под кривой P(x) равна 1 (или 100%).

	Рис.4.1 Функция распределения Гаусса

 

 

Все вышесказанное справедливо при бесконечно большом числе независимых измерений одной величины. На практике выполняют, конечно, ограниченное число измерений. В этом случае все полученные измерения величины представляют выборку, а , определенное по (4.7), называется средним арифметическим. Оно не совпадает с истинным значением величины . Поэтому при проведении конечного числа измерений (а на практике только это и возможно!) не удается установить истинное значение . Можно лишь указать границы значений, в которых лежит основная часть измерений. Так, например, если , то , если , то , если , то .

Интервал и вероятность называют доверительными. На практике величина (и дисперсия) неизвестна (количество измерений ограничено). Поэтому для оценки используют ее приближенное значение, называемое среднеквадратичной погрешностью (среднеквадратичное отклонение среднего значения ):

(4.10)

Распределение Гаусса позволяет достаточно надежно определить случайные погрешности измерений при большом числе измерений. В инженерной практике (при ) вместо распределения Гаусса следует использовать распределение Стьюдента. В этом случае можно показать, что для каждой доверительной вероятности можно найти такое число , называемое коэффициентом Стьюдента, что погрешность прямых измерений может быть оценена следующим образом:

(4.11)

Величину еще называют доверительной случайной погрешностью результата измерения, а вероятность – надежностью (доверительной вероятностью) результата. Зная число измерений в опыте N и, задавая надежность (обычно принимают ), по таблице в приложении находят значение коэффициента Стьюдента.

Окончательно результаты измерения можно записать в виде:

(4.12)

(4.13)

 

Суммируя все вышесказанное, можно предложить следующий порядок оценки результатов измерений.

1. Выполнить 3-7 измерений некоторой величины (получить выборку). Результаты занести в таблицу.

2. По формуле 4.7 определить среднее арифметическое.

3. Найти отклонение результатов каждого определенного измерения от среднего (т.е. см. числитель в формуле 4.11).

4. Определить по формуле (4.10) среднеквадратичную погрешность S.

5. С помощью преподавателя задаться определенной надежностью результата.

6. По данным таблицы в приложении определить коэффициент Стьюдента.

7. Записать результат в виде 4.12.

8. Указать относительную погрешность (4.13)

 

Методика измерений

 

Работа выполняется одновременно всей подгруппой, разбитой на бригады по 2 человека. Преподаватель запускает метроном (на каждом занятии может быть задана своя частота колебаний метронома) и каждая бригада получает конкретное задание: измерить длительность двух качаний метронома, другой бригаде – трех качаний и т. д. т. е. каждая бригада будет измерять свой временной интервал. При отсутствии метронома временные интервалы могут задаваться по часам, имеющимся в каждой бригаде. В этом случае каждая бригада также получает свое конкретное задание: провести точное измерение 5-секундного интервала, для другой бригады-7-секундного и т. д.

Каждое измерение выполняется вдвоем: один студент дает команды на включение и выключение секундомера (ориентируясь на метроном или показания часов), а другой осуществляет запуск секундомера и его остановку и регистрирует результат в таблице. При этом важно, чтобы первый студент не знал результатов каждого конкретного измерения (требование независимости измерений).

Полученные результаты используются для достижения двух целей: одна – научиться выполнять оценку погрешности прямых измерений, другая – убедиться в действии закона нормального распределения при проведении измерений, сопровождающихся случайной погрешностью.

 

Порядок выполнения работы.

 

Задание 1. Определение погрешности прямых измерений.

1. Бригада выполняет 50 измерений указанного преподавателем интервала времени . Результаты заносятся в таблицу по форме 4.1 (столбец 2).

2. По формуле 4.1 вычисляется среднее арифметическое .

3. Ищутся отклонения каждого измерения от среднего (столбец 3).

4. Заполняется 4 столбец формы 4.1.

5. По формуле 4.10 вычисляется выборочное среднее квадратическое отклонение .

6. По таблице в приложении найти коэффициент Стьюдента t_p,N (для , ).

7. Вычисляем Dt=S_t×t_p,N. Находим доверительный интервал.

8. Записываем результат измерений промежутка времени в виде: .

9. Определяем относительную погрешность .

 

Задание 2. Построение кривой распределения.

1. Выбрать из результатов измерений наибольшее и наименьшее значения интервалов времени. Определить промежуток изменений интервалов времени .

2. Разбить весь промежуток на 10 равных частей (зон)

3. Заполнить столбцы таблицы 4.2.

­ Подставить конкретные числа, характеризующие границы зон (столбец 2).

­ Подсчитать количество значений n измеренных интервалов времени t, попадающих в данную зону (столбец 3).

­ Подсчитать относительное число измеренных интервалов времени, попадающих в каждую зону (столбец 4).

4. Построить гистограмму (см. рис.4.2). Построение выполнять на миллиметровке! Для этого по оси абсцисс отложить значения измеренных интервалов времени, указать на оси t и , провести разбиение на 10 зон шириной . На каждой зоне построить прямоугольник, высота которого равна относительному числу измеренных интервалов времени . Другими словами, гистограмма отражает связь между соответствующими значениями 4 и 2 столбцов таблицы 4.3.

5. Нарисовать прямую плотности распределения результатов измерений. Для этого отметить точками середины вершин построенных прямоугольников и построить по этим точкам плавную кривую (см. рис. 4.2).

6. Найти среднеарифметическое .

7. Найти среднеквадратическое отклонение .

8. Найти по графику доверительный интервал для надежности . Он примерно равен .

 

Форма 4.1. Результаты измерений

№ измер.	t
Единицы	С	С	С2
…
Среднее	=		St=

 

 

Рис. 4.2. Гистограмма распределения результатов измерений интервалов времени

Форма 4.2. Данные для построения гистограммы.

Номер зоны	Границы зоны	n
	tнаим.¸tнаим.+h
	tнаим.+h¸tнаим.+2h
…
	tнаим.+9h¸tнаиб.
Контроль	Итого	Sn=50

 

Контрольные вопросы.

1. Что понимается в физике под измерением? Приведите примеры.

2. Как подразделяются измерения? Поясните, приведите примеры.

3. Почему при проведении измерений появляются погрешности? Можно ли выполнить измерения "точно"?

4. Какие бывают погрешности? Дайте им характеристики, приведите примеры их появления.

5. Как учесть систематические погрешности? Промахи?

6. Какие предположения лежат в основе теории случайных погрешностей?

7. Какими основными величинами оперирует теория случайных погрешностей? Поясните их физическую суть.

8. Сколько нужно выполнить измерений, чтобы можно было воспользоваться законом нормального распределения?

9. Что такое "доверительный интервал", "надежность"?

10. Как на практике находят доверительный интервал при заданной надежности? Что такое коэффициент Стьюдента?

11. Как по виду функции Гаусса (по графику) определить дисперсию?

12. Что такое "гистограмма"?

13. Подтверждается ли в Вашей работе предположение о том, что результаты измерений подчиняются закону нормального распределения?

14. Как найти погрешность косвенных измерений?

15. Является ли полученная кривая распределения кривой Гаусса?

 

Используемая литература.

[8]; [9].

Лабораторная работа 1-05“Исследование упругого соударения шаров”

 

Цель работы: экспериментальное определение импульсов двух упруго соударяющихся шаров до и после соударения. Проверка выполнения закона сохранения импульса для замкнутой системы тел.