Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Резонанс

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

(1)

Решение уравнения (1) запишем в виде
(2)
где u=u(t). После взятия первой и второй производных (2) и подстановки их в выражение (1) найдем
(3)
Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай положителньного коэффициента:
(4)
(если (ω₀² - σ²)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим выражение , у которого решение будет функция . Значит, решение уравнения (1) в случае малых затуханий (ω₀² >> σ²)
(5)
где
(6) — амплитуда затухающих колебаний, а А₀ — начальная амплитуда.

Резонанс

При частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем

Колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением: График резонансных кривых: