Ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення. Алгоритм ділення багатоцифрових чисел

Ділення чисел – операція, обернена до операції множення. Вона полягає у знаходженні за відомим добутком двох множників і одним із множників другого (невідомого) множника. Тому при діленні одноцифрових і двоцифрових чисел на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел. При цьому можуть бути такі випадки:

· за таблицею множення знаходять повну частку, як, наприклад, при діленні числа 63 на 9;

· за таблицею множення знаходять неповну частку і обчислюють остачу, як у випадку ділення числа 65 на 9: 65 = 9 · 7 + 2, або 65: 9 = 7 (ост. 2).

Отже, взагалі процес ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число в є дія ділення з остачею, яка полягає у знаходженні таких цілих невід’ємних чисел q і r, що а = bq + r, де 0 ≤ r < b. Оскільки

bq ≤ a < b (q + 1), то процес ділення числа а на число в полягає спочатку у знаходженні такого цілого числа q, яке б задовольняло цю рівність. Тоді остача r = а – b q. Наприклад, для виконання ділення 637 на 25 треба знайти такі цілі невід’ємні числа q і r, щоб 637 = 25 ∙ q + r. Подвійна нерівність

25 q ≤ 637 < 25(q +1) дає змогу встановити число цифр у неповній частці q. Справді, оскільки 25 ∙ 10 < 637 < 25 · 100, то частка q – двоцифрове число. Для знаходження цифри її десятків помножимо послідовно дільник 25 на 10, 20,... Оскільки 25 ∙ 20 < 637 <25 ∙ 30, то цифра десятків неповної частки дорівнює 2, а сама частка 20 < q < 30, тобто q = 20 + q₁, де q₁ – число одиниць. Через те що 25 ∙ (20 + q ₁) ≤ 637 < 25 ∙ (20 + q ₁ +1), маємо

500 + 25 q₁ ≤ 637 < 500 + 25(q₁ +1), або 25 q₁ ≤ 137 < 25(q₁ +1).

Число q₁ – одноцифрове. Його можна знайти, послідовно помножаючи 25 на 1, 2, 3,... Дістанемо: 25 · 5 = 125, а 25 ∙ 6 = 150. Тому число одиниць частки дорівнює 5. Отже, неповна частка q = 25, a остача r = 637 – 635 = 12 і

637 = 25 · 25 + 12. Викладені міркування лежать в основі ділення «кутом»:

_ 637 25

50 25

_ 137

125

Загальний алгоритм ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число b такий:

· Якщо а = b, то частка q = 1, остача r = 0.

· Якщо а > b і число розрядів у чисел а і b однакове, то, помножаючи b послідовно на числа 1, 2,...,9, знаходять частку q від ділення числа а на число b і остачу r = а – bq.

· Якщо а > b і число розрядів у числі а більше, ніж у числі b, то частку і остачу шукають так.

У числі а зліва відокремлюють стільки розрядів, скільки їх має число b чи на один розряд більше, а число с₁, ними утворене, дорівнювало б чи було б більше від числа b; далі підбирають серед чисел 1, 2,..., 9 такий множник q₁, що bq₁ ≤ c₁, число bq₁ підписують під числом c₁ і віднімають.

Дістають r₁ = с₁ – bq₁. Це число записують під числом bq₁; потім справа до r₁ приписують цифри першого з невикористаних розрядів діленого а і порівнюють здобуте число з числом b; якщо воно не менше b, то повторюють вище розглянутий процес, якщо ж воно менше b, то приписують до нього ще стільки розрядів, щоб воно було не менше числа b, і знову застосовують розглянутий вище процес.