Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1. (Первая теорема Больцано-Коши)

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [ a,b ] и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда внутри этого отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой функция обращается в нуль.

.

x

y

a

c1

b

c2

c3

0

x

y

a

c

b

f(a)

f(b)

0\x

Теорема 2. (Вторая теорема Больцано-Коши)

Функция f(x), непрерывная на некотором промежутке, переходя от одного своего значения к другому, принимает все промежуточные значения.

x

y

a

c

b

A

C

0\x

B

y=f(x)

 

 

Замечание. y=f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если

Теорема 3. (Первая теорема Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на отрезке [ a,b ], то она ограничена на этом отрезке.

 

Теорема 4. (Вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на отрезке [ a,b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

x

y

a

m

b

0\x

M

x

y

a

m

b

0\x

M

x

y

a

m

b

0\x

M

x

y

a

m

b

0\x

M