При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом

V группа Аксиома параллельности

У Гильберта данная аксиома звучит так:

V. Даны: прямая а и, не принадлежащая ей, точка A. В плоскости, определяемой прямой а и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой а.

В учебнике Атанасяна дана очень схожая формулировка, не имеющая, правда обозначений для плоскости, прямой и точки.

В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Выводы

Рассматривая аксиоматику Гильберта и аксиоматику школьного учебника Л.С. Атанасяна можно прийти к следующим выводам.

Наибольшую схожесть аксиом Гильберта и аксиом школьного учебника можно отметить в первой группе аксиом (аксиомы принадлежности), где почти для каждой аксиомы Гильберта можно соотнести аксиому из школьного учебника. Отличие состоит лишь в том, какие термины при этом используются. В школьном учебнике, по моему мнению, дана более упрощенная формулировка некоторых аксиом. В одной аксиоме также может обобщаться две аксиомы Гильберта и, как можно было заметить, в школьном учебнике практически не используются обозначения для точек, прямых и плоскостей.

Во второй группе аксиом (аксиомы порядка) в аксиоматике Гильберта выстроен целый ряд аксиом для неопределяемого понятия "лежать между" для точек, расположенных на одной прямой. С другой стороны в аксиоматике школьного учебника присутствует единственная схожая аксиома, но имеются аксиомы описывающие расположение точек на разных лучах, полупространствах, полуплоскостях, что существенно отличает их от аксиом Гильберта.

Третья группа аксиом школьного учебника в своей основе имеет такое понятие как наложение, т.е. отображение пространства на себя, чего нет в аксиомах Гильберта. Атанасян использует в этих аксиомах понятие равенства фигур, не уточняя, каких именно, в то время как Гильберт рассматривает равенство отрезков и углов.

Четвертая группа аксиом Гильберта довольно широко и полно описывает длину отрезка и величину угла, а также свойства непрерывности расположения точек на прямой с использованием обозначений. В школьном учебнике кратко и просто сформулированы две аксиомы, связанные лишь с измерением отрезков.

Аксиомы пятой группы и Гильберта и в школьном учебнике представлены лишь одной аксиомой (аксиома параллельности). Различие состоит лишь в том, что Гильберт использует обозначения в аксиоме, а школьный учебник в более упрощенной форме описывает ту же самую аксиому.

Таким образом, аксиоматика Гильберта хоть и схожа с аксиоматикой школьного учебника, но имеет при этом существенные отличия. По моему мнению, аксиомы учебника представлены в более упрощенном виде специально для усвоения их школьниками. Аксиомы построены с использованием других терминов, но, по сути, являются выводами или следствиями аксиом Гильберта.

Гильберт подходил к выстраиванию своих аксиом с научной точки зрения, т.к. он проводил исследования не только аксиом геометрии, но и исследовал аксиомы других наук. И такой метод, и стиль их представления вполне соответствовал, как говорится, месту и времени.