Любая фигура равна самой себе

Имеется также аксиома, показывающая совмещение углов наложением:

Два равных угла hk и h₁k₁, лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и P₁, можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и P₁, причем это можно сделать двумя способами: в одном случае совместятся лучи h и h₁, k и k₁, а в другом лучи h и k₁, k и h₁.

IV группа. Аксиомы непрерывности

Основное назначение этой группы аксиом состоит в том, чтобы ввести длину отрезка и величину угла, а также описать свойства непрерывности расположения точек на прямой.

IV₁. Пусть АВ и CD - произвольные отрезки. Тогда на луче АВ существует конечное число точек , расположенных так, что точка А₁ лежит между А и А₂, точка А₂ лежит между А₁, и А₃ и т.д., отрезки равны отрезку СD иточка В лежит между А и А_п.

IV_2. Пусть, на какой угодно прямой а, дана бесконечная последовательность отрезков , из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего; пусть далее, каким бы ни был заранее данный отрезок, найдется номер n, для которого меньше этого отрезка. Тогда на прямой а существует точка, лежащая внутри всех отрезков .

В учебнике Атанасяна эта группа аксиом представлена двумя аксиомами, которые характеризуют измерение отрезков:

При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.