Методичні вказівки до розв’язання завдання 5

Методичні вказівки.

Розв'язання задачі. Дано такі координати точок А(4+y;6+y;-1+y), В(7+у;2+у;4+у), С(-2+y;у;-4+y), D(-1+y;1+у;-3+y), Р(-5+у;2+y;-2+у). Візьмемо будь-яке у. (Обирайте будь-яке значення у). Нехай у=1, тоді координати точок будуть такі:

А(5;7;0), В(8;3;5), C(-l;l;-3), D(0, 2, -2), Р(-4, 3, -1).

1.Рівняння площини, яка проходить через три точки:

А(x_1,y_1,z₁); В(х₂_,у₂_, z₂); С(x_3,y_3,z₃), має вигляд

(1)

Підставивши в (1) координати точок А,В,С, дістанемо

Знайдемо визначник:

(x-5)14-(y-7)7-14z=0

14x-7y-2z-3=0

2x-y-2z-3=0. (W) (2)

де - нормальний вектор площини.

2. Канонічне рівняння прямої в просторі мають вигляд

де - координати точки через яку проходить пряма (3); m,l,p-координати направленного вектора цієї прямої: = {m,l,p}. За умовою пряма проходить через точку
Р(-4,3,-1) та перпендикулярна до площини W. Отже підставляючи в (3) замість координати точки Р, та взявши вектор = , тобто замість m,l,p в (3) підставляємо числа 2,-2,-2.

3. Для того, щоб знайти точки перетину прямої (4) з площиною (2), запишемо спочатку параметричні рівняння цієї прямої (4).

, де t-деякий параметр. Тоді рівняння прямої можна записати так:

x+4=2t; y-3=-t; z+1=-2t.

x=2t-4; y=-t+3; z=-2t-1.

Підставляючи в (5) значення , знаходимо координати точки К перетину прямої (4) з площиною W(2):

; ;

Одже К

Нехай К₁ - точка перетину прямої (4) з координатною площиною ХОУ; рівняння цієї площини z=0. При z=0, враховуючи (6), дістанемо:

Одже К₁

Нехай К₂ - точка перетину прямої (4) з координатною площиною ХОУ; рівняння цієї площини у=0. При у=0, враховуючи (6), дістанемо:

Отже К₂(2;0;-7).

Нехай К₃-точка перетину прямої (4) з координатною площиною YOZ; Рівняння цієї площини х=0. При х=0, враховуючи (6), дістанемо:

0=2t₃-4; t₃=2.

y=-2+3=1;z₃=-2*2-1=-5;x₃=0. К₃ =

4. Відстань від точки до площини - це є найкоротша відстань, тобто дорівнює довжині перпендикуляра, який проведений з цієї точки до площини.

Так як точка Р розташована на прямій (4), яка перпендикулярна до площини W, і перетинається з площиною в точці К, то для знаходження відстані від точки Р до площини W достатньо знайти відстань між точками Р та К:

Отже РК=4 (лін.од).

Відстань d від точки P(x,y,z) до площини, яка має загальне рівняння Ax+By+Cz+D=0 можна обчислити за такою формулою:

(7)

Підставляючи в формулу (7) замість х, у,z- координати точки D={0,2,-2} та значення А=2, В=-1, С=-2, D=-3. Із загального рівняння (2) площини W, знайдемо шукану відстань d від точки D до площини W:

(лін.од.) (лін.од.)

5. Так як пряма РК (4) перпендикулярна до площини W, то шукана точка М, яка розташована симетрично до точки Р, відносно площини W, знаходиться на прямій РК. Крім того, точка К є серединою відрізка РМ. Використовуючи формули для знаходження координат точки, яка ділить відрізок (в просторі) на дві рівні частини, знаходимо координати шуканої точки М: