Запитання до iспиту з вищої математики-1

Для студентів гр. ІА-21, ІА-22, ІА-23, ІА-24.

1. Множина дійсних чисел. Розширена множина дійсних чисел.

2. Означення числової послідовності, обмеженої та необмеженої числової послідовності. Означення границі числової послідовності,збіжної та розбіжної числової послідовності, властивості збіжних послідовностей.

3. Означення нескінченно малої послідовності. Теорема про добуток нескінченно малої та обмеженої послідовностей. Означення нескінченно великої послідовності та границь =

Теорема про співвідношення між нескінченно великими та нескінченно малими послідовностями. Невизначеності та їх типи.

4. Існування границі числової послідовності . Число ℓ.

6. Означення скінченної границі функції в точці по Коші та по Гейне, однобічних границь функції в точці. Теорема (необхідні та достатні умови існування скінченної границі функції в точці).

7. Перша визначна границя та таблиця її наслідків (наслідки довести).

8.Друга визначна границя та таблиця її наслідків (наслідки довести)правило розкриття невизначеності .

9. Застосування еквівалентних нескінченно малих функцій (н. м. ф.) до обчислення границь. Означення, таблиця еквівалентних нескінченно малих функцій, теорема про границю відношення двох (н. м. ф.).

10. Порівняння нескінченно малих функцій (основні означення)теорема про різницю двох еквівалентних нескінченно малих функцій (довести). Означення головної частини (н. м. ф.).

11. Означення функції неперервної в точці. Теорема (необхідна та достатня умови неперервності функції в точці).Означення: 1) точки розриву функції; 2) точки усувного розриву; 3) точки розриву 1 –го роду; 4) точки розриву 2 –го роду.

12. Означення функції неперервної на інтервалі та відрізку. Властивості функцій, неперервних на інтервалі та відрізку.

13. Означення похідної функції в точці, механічний зміст похідної. Похідна функцій

,

14. Теорема про неперервність функції, диференційовної в точці (з доведенням). Правила диференціювання добутку сталої на функцію, суми, різниці, добутку і частки двох функцій. Теорема про похідну складної функції.

15. Гіперболічні функції. Означення та похідні. Таблиця похідних.

16. Логарифмічне диференціювання. Похідна показниково- степеневої функції (довести формулу).

17. Диференціал функції. Теорема про вигляд приросту функції диференційовної в точці (довести). Означення диференціалу функції. Застосування диференціалу до наближених обчислень.

18. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до графіка функції.

19. Похідна параметрично заданої функції (довести формулу). Диференціювання неявно заданої функції.

20. Похідні та диференціали вищих порядків, означення. Формула Лейбніца.

 

 

21. Формула Тейлора: 1) Теорема про формулу Тейлора n- го порядку з залишковим членом в формі Лагранжа; 2) З залишковим членом в формі Пеано. Для функції написати формулу Тейлора 2- го та 3- го порядку в околі точки з залишковим членом в формі Лагранжа та формулу Тейлора n-го порядку для функції в околі точки з залишковим членом в формі Лагранжа.

22. Правило Лопіталя.

23. Означення зростаючої, не спадної, спадної, не зростаючої та монотонної на проміжку функції. Достатні умови зростання та спадання функції (теорема та доведення). Необхідна умова зростання та спадання функції (теорема).

24. Означення точки локального мінімуму, локального максимуму, точки екстремуму функції та екстремумів (мінімуму,максимуму)функції. Теорема (необхідна умова екстремумів). Означення критичної точки функції. Теорема (достатні умови екстремумів).

25. Опуклість графіка функції. Означення опуклого вгору, (опуклого вниз) графіка функції на інтервалі. Достатня умова опуклості графіка функції (теорема та доведення). Означення точки перегину. Необхідна умова існування точки перегину. Означення 2- ї критичної точки. Достатня умова точки перегину (теорема).

26. Означення асимптоти графіка функції, вертикальної асимптоти, похилої асимптоти. Необхідна та достатня умова існування похилої асимптоти (теорема та доведення).

27. Означення первісної. Теорема про множину всіх первісних. Означення невизначеного інтегралу та його властивості. Таблиця інтегралів.

28. Теорема про інваріантність формул інтегрування (з доведенням). Властивості диференціалу, які застосовують при обчисленні інтегралів за цією теоремою. Формула заміни змінної для невизначеного інтегралу.

29. Формула інтегрування частинами для невизначеного інтегралу(теорема та доведення). Основні типи інтегралів, які обчислюються методом інтегрування частинами.

30. Означення раціонального дробу, правильного та неправильного раціонального дробу. Представлення неправильного дробу в вигляді суми многочлена (частки) та правильного дробу. Інтегрування 4- х типів елементарних дробів.

31. Інтегрування правильних раціональних дробів. Розклад знаменника дробу на множники. Теорема про розклад правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів. Обчислення коефіцієнтів розкладу методом окремих значень та методом порівняння коефіцієнтів.

32. Основні типи інтегралів від тригонометричних функцій та методи їх обчислення. Універсальна тригонометрична підстановка,написати при обчисленні яких інтегралів її доцільно застосувати.

33. Інтегрування ірраціональних функцій. Інтегрування лінійних ірраціональностей. Інтегрування квадратичних ірраціональностей. Тригонометричні підстановки.