Если точка принадлежит плоскости
,
то её координаты удовлетворяют уравнению (1). Выясним, какой геометрический смысл имеет выражение
,
если точка не принадлежит плоскости.
Опустим из точки перпендикуляр на плоскость. Пусть - основание перпендикуляра. Так как точка лежит на плоскости, то . Выразим отсюда и подставим в выражение (2), получим:
где - вектор, перпендикулярный плоскости, – его модуль, - расстояние от точки до плоскости.; при ; при . Получим
.
Таким образом, выражение (2) положительно для точек по одну сторону плоскости и отрицательно по другую.
Из равенства (3) следует:
,
т.е. по абсолютной величине выражение (2) пропорционально расстоянию с коэффициентом пропорциональности
.
Равенство (5) дает основную формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости (1):
.
Если для коэффициентов уравнения выполняется равенство ,т.е. вектор - единичный, то формула упрощается: . Значит, выражение (2) с точностью до знака равно расстоянию . В этом случае говорят, что уравнение плоскости (1) в нормальной форме. Можно увидеть, что тогда , где - углы, образованные единичным вектором с осями соответственно. Эти косинусы называются направляющими косинусами вектора и удовлетворяют равенству .
Чтобы получить нормальную форму из общего уравнения плоскости (1), достаточно разделить его на коэффициент : .
Оно с точностью до знака имеет вид: , куда входят направляющие косинусы неединичного вектора и расстояние от начала координат О до плоскости.