Примеры решения задач

ПО ТЕМЕ «Определители»

 

Задача 1.

Вычислить определитель

.

 

Указание

Воспользуйтесь либо правилом треугольников, либо разложением определителя по 2-й строке или 2-му столбцу, содержащим нулевой элемент.

 

Решение

1-й способ (правило треугольников).

Вычислим определитель 3-го порядка, используя его определение:

Δ = 2·0·(-1) + (-3)·(-4)·2 + 5·1·1 - 2·0·5 -1·(-4)·2 – (-1)·1·(-3) =

= 0 + 24 + 5 – 0 + 8 – 3 = 34.

 

2-й способ (разложение по строке).

Применим свойство определителя:

.

Для удобства вычисления выберем 2-ю строку, содержащую нулевой элемент (а 22 = 0), поскольку при этом нет необходимости находить А 22, так как произведение а 22 А 22 = 0. Итак,

(напомним, что определитель второго порядка, входящий в алгебраическое дополнение Aij, получается вычеркиванием из исходного определителя i -й строки и j -го столбца).

Тогда Δ = а 21 А 21 + а 23 А 23 = 1·2 + (-4)(-8) = 34.

 

Ответ: Δ = 34.

 

Задача 2.

Используя свойства определителя, вычислить определитель

.

Указание

Вычитая из 2-й и 3-й строк определителя соответствующие элементы 1-й строки, добьемся того, что в 1-м столбце останется только один ненулевой элемент. Далее можно разложить определитель по 1-му столбцу.

 

Решение

Поскольку все элементы первого столбца равны 1, вычтем из 2-й и 3-й строк определителя соответствующие элементы 1-й строки (при этом величина определителя не изменится – свойство 6):

.

Заметим, что теперь все элементы 2-й строки кратны двум, а элементы 3-й строки кратны трем. По следствию 2.2 соответствующие множители можно вынести за знак определителя:

.

Вычтем из элементов 3-й строки полученного определителя соответствующие элементы 2-й строки:

и разложим определитель по 1-му столбцу:

 

Ответ: Δ = 6.

 

Разумеется, можно было вычислять этот определитель непосредственно (например, по правилу треугольников), но использование свойств определителей позволило существенно сократить и упростить численные расчеты.

 

Задача 3.

Используя свойства определителей, вычислить определитель

.

 

 

Указание

Прибавьте к элементам 2-й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из элементов 3-й строки вычтите удвоенные элементы 1-й строки. Затем вынесите за знак определителя все общие множители элементов какой-либо строки или столбца.

 

Решение

 

Прибавим к элементам 2-й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из элементов 3-й строки вычтем удвоенные элементы 1-й строки:

Вынесем за знак определителя множитель -1 из 2-й строки и 3 – из 3-й:

Теперь из 3-го столбца вынесем множитель -2:

Вычтем из элементов 2-го столбца элементы 3-го столбца и разложим полученный определитель по 3-й строке:

Ответ: Δ = 306.

 

Задача 4.

Решить уравнение

 

 

Указание

 

Разложив определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке, и приравняв его 40, вы получите квадратное уравнение для х.

 

 

Решение

Разложим определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке. Предварительно найдем соответствующие алгебраические дополнения:

Тогда

и требуется решить квадратное уравнение

.

Ответ:

 

Задача 5.

Решить неравенство

 

Указание

Раскройте определитель, стоящий в левой части неравенства, по 1-й строке.

 

Решение

Раскроем определитель, стоящий в левой части неравенства, по 1-й строке:

3(10 - 12) – x (2 x – 9) + 4 x – 15 > - 3;

-2 x 2 + 13 x – 18 > 0;

2 x 2 – 13 x + 18 < 0;

2 < x < 4,5.

 

Ответ: (2; 4,5).

 

Задача 6.

Используя свойства определителей (не раскрывая определитель), вычислить определитель

 

Указание

Используйте тригонометрическую формулу cos 2 a = cos2 a - sin2 a и свойство определителя с двумя равными столбцами.

 

Решение

Из тригонометрии известно, что cos 2 a = cos2 a - sin2 a. Вычтем из элементов

2-го столбца определителя соответствующие элементы 1-го столбца:

У полученного определителя, равного исходному (свойство 6), два столбца одинаковы, поэтому он равен нулю (следствие 2.1).

 

Ответ: 0.

 

Задача 7.

Вычислить определитель 4-го порядка

.

 

Указание

Преобразуйте определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуйтесь свойством 6.

 

Решение

Преобразуем определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуемся свойством6. Его особенно удобно применять, если в определителе существует элемент, равный + 1. Выберем в качестве такого элемента а 13 = 1 и с его помощью обратим все остальные элементы 3-го столбца в нуль. С этой целью:

а) к элементам 2-й строки прибавим соответствующие элементы 1-й строки;

б) из элементов 3-й строки вычтем элементы 1-й строки, умноженные на 2;

в) из элементов 4-й строки вычтем элементы 1-й строки

(напомним, что при этом величина определителя не изменится). Тогда

Разложим полученный определитель по 3-му столбцу:

Вычтем из элементов 1-й строки нового определителя удвоенные элементы 2-й строки:

и разложим этот определитель по 1-й строке:

 

Ответ: Δ = -9.

 

Задача 8.

Вычислить определитель 4-го порядка

 

Указание

Разложите определитель по 1-й строке, а затем полученный определитель 3-го порядка вновь разложите по 1-й строке.

 

Решение

 

Разложим определитель по 1-й строке:

Полученный определитель 3-го порядка вновь разложим по 1-й строке:

 

Ответ: Δ = 24.

 

Обратите внимание: если в определителе все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, то определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

 

Ответ: Δ = 24.

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: