Вычисление производных от сложных функций, функций, заданных неявно и в параметрической форме

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления. Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Общепринятыеобозначенияпроизводной функции в точке:

Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Если функция задана в параметрической форме:

(2)

Таблица производных основных функций

Основные правила нахождения производных.

1 Производная от константы равна нулю.

2.Константу можно вынести за производной, то есть (c∙f(x))´=c∙(f(x))´.

3. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:

4. Производная произведения двух функций равна

5. Производная частного двух функций равна

6. Пусть y=F(u), где u=φ(x), тогда y=F(φ(x))– сложная функция и y´=F´(u)∙φ´(x).