Метод математического моделирования

В предыдущем материале курса показано, что процессы синтеза полимеров многогранны. В ходе них осуществляется химическая реакция, ведущая к изменению реологических свойств среды, гидродинамической ситуации. В этих процессах отчётливо проявляются явления тепло-массо-переноса, часто реакция сопровождается выделением большого количества тепла.

На основе всех этих данных может быть построена модель процесса.

Построение модели – самая тонкая и ответственная часть математического моделирования. При этом требуется не только и не столько знание математики, сколько глубокое понимание сущности описываемых явлений. Освоение методов кибернетики химиками – технологами создаёт базу для овладения принципами построения математических моделей процессов химической технологии.

Математическое моделирование промышленных процессов синтеза полимеров позволяет:

- моделировать существующие промышленные процессы с целью их оптимизации;

- сравнивать различные способы осуществления процессов, т.е. осуществлять выбор технологической схемы;

- вести оптимальное проектирование процессов;

- уточнять кинетические модели методом решения обратной задачи химической кинетики;

- анализировать работу промышленных реакторов с целью выявления причин нестабильной работы;

- создавать автоматизированные системы управления.

В целом математическое моделирование является научной основой расчёта технологических процессов и по мере развития будет занимать всё большее место в технологических разработках, поскольку на сегодняшний день только оптимально организованные технологические схемы и агрегаты имеют право на существование.

Ключом к решению перечисленных задач является применение методов кибернетики.

Кибернетика имеет три необходимые составные части:

1 – предмет;

2 – метод;

3 – средства реализации.

Предметом являются физико-химические системы: отдельные типовые процессы и их совокупность – химические производства. Методом – математическое моделирование, средствами реализации – ЭВМ.

Под химическими системами понимают совокупность происходящих процессов и средств для их реализации, т.е. система включает собственно процесс, аппарат, в котором он осуществляется, средства контроля и управления ими и все связи между ними. При этом считается, что в производстве должна быть «скупая автоматизация», т.е производство образно говоря не должно быть обвешено КИП как новогодняя ёлка игрушками. Для этого необходимо, чтобы аппараты и организации материальных потоков в них создавались с наперёд заданными свойствами. Агрегат или производство должны быть кибернетически организованы.

Все связи системы образуют её структуру. Система общается с внешней средой и может быть количественно оценена через её входы и выходы.

Х,Z.,U -возмущения

 

Входами в систему могут быть перерабатываемое сырьё, его количество, состав, температура и т.д.; выходами – количество готового продукта, его качество, температура и т.д. Система обычно подвержена возмущениям, и для их компенсации, тем, чтобы система работала в нужном нам направлении, используют управляющие воздействия, также выражаемые количественно.

Количественная связь между выходными параметрами системы и всеми входными параметрами, т.е. функция

является математической моделью системы. Вид этой функции определяется природой системы – детерминированной или стохастической.

Математическое описание технологического процесса сводится к подбору комбинации простейших моделей:

- модель идеального вытеснения;

- диффузионная модель;

- модель идеального смешения;

- ячеичная модель;

- комбинированная модель;

- статистическая;

- динамическая.

Т.о.,модель представляется в виде определённой математической записи и объединяет опытные факты, устанавливает взаимосвязь между параметрами исследуемого процесса. Описать работу химического реактора можно с помощью моделей различной сложности. Естественно, что предсказательная сила этих моделей будет различаться.

Математическая модель процесса синтеза полимеров включает: 1) кинетику процесса; 2) термодинамику; 3) тепло-массообмен; 4) реологию; 5) гидродинамику.

Как правило, вначале исследуется гидродинамическая часть общего технологического оператора – основа будущей модели. Эта часть оператора отражает поведение так называемого «холодного» объекта, т.е объекта без физико-химических превращений, но с реальными нагрузками на аппарат. Напомним, что если выразить координаты частиц в пространстве – получим уравнение Лагранжа. Если же отразить скорость частиц в конкретных координатах – уравнение Эйлера.

Широко используются критерии Рейнольдса, Прандля, Нуссельта, отражающие гидродинамическую ситуацию. Математически это выражается линейными дифференциальными уравнениями, отражающими функции распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате.

Кинетика процесса отражает кинетические закономерности всех реакции, происходящих в системе. Например, кинетическая схема процесса радикальной полимеризации приведена выше и включает реакции распада инициатора, инициирование, рост цепиобрыв цепи по механизмам рекомбинации и диспропорционирования, передачу цепи на мономер, полимер, растворитель и др. Обычно в кинетической схеме отражены уравнения, учитывающие образование нелинейных или разветвлённых структур.

Реологические зависимости также взаимосвязаны с механизмами синтеза, что показано в предыдущем параграфе. В частности, для радикальной полимеризации:

С= α =Аt

η= B α^b

η= D t^b

Т.е. необходимо выразить зависимость С или α от t и η(α). Поскольку в системе изменяются С или Р надо знать законы этих изменений.

Наконец, процессы тепло- и массообмена выражаются уравнениями движения, сохранения массы и энергии, термодинамические зависимости также описываются математически.

Число уравнений, описывающих процесс неограничено, более того, чем больше число уравнений, тем лучше, и главное – чтобы эти уравнения хорошо описывали процесс. На практике для математического описания явления часто пользуются приёмом, получившим название «чёрного ящика», т.е. давая возмущение системе определяют её отклик на данное возмущение.

В случае организации процесса и его оптимизации надо записать систему уравнений и критерии, по которым нужно оптимизировать. Так в приводимом ранее примере оптимизируемым критерием являлись затраты:

 

Метод математического моделирования основан на использовании ЭВМ. Для того, чтобы промоделировать эксперименты на ЭВМ, необходимо выполнить несколько предварительных условий:

1) перевести на математический язык, т.е. записать в виде уравнений химические реакции превращение мономера в полимер, а также изобразить структуру полимера.

2) Нужно располагать количественной, а не качественной информацией о влиянии параметров молекулярной структуры на свойства полимера.

3) Математическая модель, хорошо описывающая процесс образования полимера на лабораторной установке, непригодна для промышленного реактора. Эта модель нуждается в дополнительной информации о макрофакторах, сопровождающих процесс.

4) Для выбора наилучшей технологической схемы, конфигурации и типа реактора нужно проводить множество расчетов и уметь сравнивать варианты по различным технологическим, экономическим и другим критериям.

Хотя общая теория моделирования создана, ее конкретное применение требует каждый раз обширных экспериментальных исследований. Математическая модель с одной стороны, аккумулирует в себе основные знания о процессе, а с другой стороны, сама используется как мощный инструмент познания и совершенствования процесса.

При использовании метода математического моделирования необходимо четко усвоить, что полученный расчет годится только для конкретной установки и для тех аппаратов, что в ней заложены. Если нужно поставить другой аппарат, необходимо выполнить расчеты заново. При изучении сложных физико-химических процессов математические методы эффективны только в сочетании с глубоким изучением механизма процесса.

Приведем некоторый пример:

Методом математического моделирования была исследована динамика активных центров катализатора Циглера-Натта в процессах полимеризации диенов. Оказалось, что каталитическая активность катализатора не является константой, а изменяется во времени. Показано, что активные центры переходят друг в друга Р₁ →Р₂ (k₁) и Р₂→Р₁ (k₂). k₁ = 0.08 мин^-1 и k₂ = 0.02 мин^-1. В связи с этим сделаны определенные рекомендации для описания процесса полимеризации на промышленно используемых катализаторах.